[論文レビュー] Quantum Optical Version of Classical Optical Transformations and Beyond

Hong-Yi Fan, Liyun Hu|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2010

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、IWOP技法とエンタングルド状態を用いて、古典的光変換のための量子光学的枠組みを確立し、フレネル変換、分数フーリエ変換、ウェーブレット変換などの変換に対応するユニタリ演算子を明らかにした。新たな量子力学的表現が導かれ、エンタングルドフレネル変換やシンプレクティックウェーブレット変換といった新しい古典的変換が発見され、ディラックの記号的手法を通じて量子光学と古典的光学が統合された。

ABSTRACT

By the newly developed technique of integration within an ordered product (IWOP) of operators, we explore quantum optical version of classical optical transformations such as optical Fresnel transform, Hankel transform, fractional Fourier transform, Wigner transform, wavelet transform and Fresnel-Hadmard combinatorial transform etc. In this way one may gain benefit for developing classical optics theory from the research in quantum optics, or vice-versa. We can not only find some new quantum mechanical unitary operators which correspond to the known optical transformations, deriving a new theorem for calculating quantum tomogram of density operators, but also can reveal some new classical optical transformations. We derive GFO's normal product form and its canonical coherent state representation and find that GFO is the loyal representation of symplectic group multiplication rule. We show that GFT is just the transformation matrix element of GFO in the coordinate representation such that two successive GFTs is still a GFT. The ABCD rule of the Gaussian beam propagation is directly demonstrated in the context of quantum optics. Especially, the introduction of quantum mechanical entangled state representations opens up a new area to finding new classical optical transformations. The complex wavelet transform and the condition of mother wavelet are studied in the context of quantum optics too. Throughout our discussions, the coherent state, the entangled state representation of the two-mode squeezing operators and the IWOP technique are fully used. All these confirms Dirac's assertion: " ... for a quantum dynamic system that has a classical analogue, unitary transformation in the quantum theory is the analogue of contact transformation in the classical theory".

研究の動機と目的

• ディラックの記号的手法を用いて、古典的光変換をユニタリ量子光学的演算子に体系的に写像すること。
• フレネル変換、分数フーリエ変換、ウェーブレット変換などの古典的変換のための量子力学的基盤を構築すること。
• 特にエンタングルド状態表現を用いることで、量子光学形式から新たな古典的光変換を発見すること。
• 一般化フレネル演算子を用いて、量子光学におけるガウスビーム伝搬のABCD法則を示すこと。
• 量子光学変換を用いて、位相成分の量子トモグラフィーおよび確率分布の範囲を拡張すること。

提案手法

• 順序付き積内での統合（IWOP）技法を用いて、量子演算子の正規順序形および完全性関係を導出すること。
• コherent状態および連続変数の二重モードエンタングルド状態を表現基底として用い、古典的変換の量子光学的バージョンを導出すること。
• 一般化フレネル演算子（GFO）を構築し、シンプレクティック群の忠実な表現としての役割を果たし、量子光学におけるABCD法則の導出を可能にすること。
• GFOを用いて、複素分数フーリエ変換、複素ウェーブレット変換、シンプレクティックウェーブレット変換などの新たな変換を導出すること。
• エンタングルド状態表現を用いて、エンタングルドフレネル変換やフレネル・ハダマード組み合わせ変換といった新たな古典的変換を明らかにすること。
• 母ウェーブレットの逆変換公式、パーサバルの定理、およびパrameter空間における直交性を、量子光学的文脈で導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フレネル変換や分数フーリエ変換などの古典的光変換が、どのように量子光学においてユニタリ演算子として表現できるか。
• RQ2 特にエンタングルド状態を用いた量子光学形式から、どのような新たな古典的光変換が生じるか。
• RQ3 IWOP技法が、量子表現の正規順序形および完全性関係を導出するためにどのように機能するか。
• RQ4 一般化フレネル演算子を用いて、量子力学的原理から直接ABCD法則を導出できるか。
• RQ5 複素ウェーブレット変換およびシンプレクティックウェーブレット変換の量子力学的解釈は何か。また、ウィグナー関数およびヒュズミ分布とどのように関係するか。

主な発見

• 一般化フレネル演算子（GFO）はシンプレクティック群のユニタリ表現として導出され、IWOP技法を用いて正規順序形が得られた。
• GFOを用いて、量子光学においてガウスビーム伝搬のABCD法則が直接的に示され、物理的整合性が確認された。
• エンタングルド状態表現を用いて、エンタングルドフレネル変換およびフレネル・ハダマード組み合わせ変換が、新たな古典的光変換として発見された。
• 複素分数フーリエ変換およびその加法性の性質が、量子領域で確立され、量子力学的手法を用いて固有モードが導出された。
• 密度演算子の量子トモグラムを計算するための新しい定理が導出され、ウィグナー関数のラドン変換がフレネル変換に一致することが示された。
• ウェーブレット変換における母ウェーブレットの条件が量子光学において再定式化され、IWOP技法を用いてパrameter空間における直交性が証明された。