[論文レビュー] Quantum Speed-ups for Semidefinite Programming

Fernando G. S. L. Brandão, Krysta M. Svore|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 20被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、半定値計画問題（SDP）を解くための量子アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、最悪計算時間を $ n^{1/2}m^{1/2}s^2 \operatorname{poly}(\log n, \log m, R, r, 1/\delta) $ にまで短縮し、行列次元 $ n $、制約数 $ m $、行スパarsity $ s $ それぞれについて、2乗の加速を達成する。アルゴリズムは量子ギブス採掘と変更された乗法的重み法を組み合わせており、SDPおよび線形計画法における最初の量子加速を達成する。また、$ \Omega(n^{1/2} + m^{1/2}) $ の量子下界を確立し、加速がほぼ最適であることを示している。

ABSTRACT

We give a quantum algorithm for solving semidefinite programs (SDPs). It has worst-case running time $n^{\frac{1}{2}} m^{\frac{1}{2}} s^2 ext{poly}(\log(n), \log(m), R, r, 1/δ)$, with $n$ and $s$ the dimension and row-sparsity of the input matrices, respectively, $m$ the number of constraints, $δ$ the accuracy of the solution, and $R, r$ a upper bounds on the size of the optimal primal and dual solutions. This gives a square-root unconditional speed-up over any classical method for solving SDPs both in $n$ and $m$. We prove the algorithm cannot be substantially improved (in terms of $n$ and $m$) giving a $Ω(n^{\frac{1}{2}}+m^{\frac{1}{2}})$ quantum lower bound for solving semidefinite programs with constant $s, R, r$ and $δ$. The quantum algorithm is constructed by a combination of quantum Gibbs sampling and the multiplicative weight method. In particular it is based on a classical algorithm of Arora and Kale for approximately solving SDPs. We present a modification of their algorithm to eliminate the need for solving an inner linear program which may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 半定値計画問題（SDP）を著しく高速化する量子アルゴリズムの開発。SDPは応用が広範な凸最適化問題の中心的クラスである。
• 特に行列次元 $ n $ や制約数 $ m $ に着目した、いかなる古典的手法よりも明確に速い実行時間の達成。
• 線形計画法（SDPの特殊ケース）における最初の量子加速の確立。
• SDP解法における量子下界 $ \Omega(n^{1/2} + m^{1/2}) $ を証明することで、提案された加速がほぼ最適であることを示すこと。

提案手法

• 古典的なSDP用乗法的重み法の量子版を基盤とする。当初はAroraとKaleによって開発された。
• 乗法的重みフレームワーク内の古典的内側線形計画問題を、期待値を効率的に推定するための量子ギブス採掘手順に置き換える。
• 量子ギブス採掘は、入力行列から構築されたハミルトニアンの熱的状態をシミュレートし、解空間上の分布からの効率的採掘を可能にする。
• スパースハミルトニアンの効率的量子シミュレーションを活用し、$ s $-スパースハミルトニアンに対して時間 $ t $、誤差 $ \varepsilon $ の場合、回路サイズが $ O(st \operatorname{poly}(n, \log(1/\varepsilon))) $ となる。
• 非ゼロ行列要素へのアクセスをクエリインタフェースで提供する修正されたオракルモデルを用い、効率的な量子状態準備とアモニチュード推定を可能にする。
• 制約の境界 $ b_i < 1 $ の場合を扱うための還元技術を採用。$ b_i \geq 1 $ を満たす同等のSDPに変換することで、アルゴリズムの仮定と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アルゴリズムは、古典的手法に比べて、半定値計画問題の解法において明確な加速を達成できるか？
• RQ2 $ n $ と $ m $ 両方について2乗の加速が達成可能で、かつ最適であるか、それとも根本的な制限があるか？
• RQ3 古典的乗法的重み法を、古典的内側線形計画問題を必要としない量子環境に適応できるか？
• RQ4 定数スパarsityおよび解のサイズを想定した一般SDPの量子複雑度下界は何か？
• RQ5 この量子的手法は、SDPの特殊ケースである線形計画法に対しても加速をもたらすか？

主な発見

• 提案された量子アルゴリズムは、最悪計算時間 $ n^{1/2}m^{1/2}s^2 \operatorname{poly}(\log n, \log m, R, r, 1/\delta) $ を達成し、古典的手法に比べて $ n $ と $ m $ 両方で2乗の加速を実現する。
• 線形計画法はSDPの特殊ケースであるため、本アルゴリズムは線形計画法に対しても最初の量子加速を確立する。
• 定数 $ s $、$ R $、$ r $、$ \delta $ の下で、SDP解法に対する量子下界 $ \Omega(n^{1/2} + m^{1/2}) $ が証明され、加速がほぼ最適であることが示された。
• 乗法的重みフレームワーク内の古典的線形計画サブルーチンを、量子ギブス採掘に置き換えることで、行列の完全な逆行列計算を必要とせずに期待値を効率的に推定できる。
• アルゴリズムの効率性は、スパースハミルトニアンの効率的量子シミュレーションと、多項対数的クエリ複雑性を持つ構造化されたオラクルモデルによる行列要素へのアクセスに依存する。
• $ b_i $ が小さいSDPを $ b_i \geq 1 $ を満たす同等形式に変換する還元技術が開発され、解の品質を保持しながら一貫したアルゴリズム適用を可能にした。