[論文レビュー] Quantum Spin Dynamics (QSD) II

Thomas Thiemann|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 1996

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 10被引用数 105

ひとこと要約

本稿は、量子スピンダイナミクス（QSD）の枠組みを用いて、4次元における正準量子重力理論におけるローレンツ型ホイーラー＝デイット制約の数学的に厳密な、摂動論的でない量子化を提示する。対称的かつ自己随伴拡張を有する明確に定義されたハミルトニアン制約演算子を構成し、群平均化法を用いて完全な物理的ヒルベルト空間を導出し、任意の次数の頂点と同一平面上にある辺の接線を有するスピンネットワーク—これは制約を零化し、物理的内積を有する—という物理的状態のクラスを同定する。

ABSTRACT

We continue here the analysis of the previous paper of the Wheeler-DeWitt constraint operator for four-dimensional, Lorentzian, non-perturbative, canonical vacuum quantum gravity in the continuum. In this paper we derive the complete kernel, as well as a physical inner product on it, for a non-symmetric version of the Wheeler-DeWitt operator. We then define a symmetric version of the Wheeler-DeWitt operator. For the Euclidean Wheeler-DeWitt operator as well as for the generator of the Wick transform from the Euclidean to the Lorentzian regime we prove existence of self-adjoint extensions and based on these we present a method of proof of self-adjoint extensions for the Lorentzian operator. Finally we comment on the status of the Wick rotation transform in the light of the present results.

研究の動機と目的

• 4次元正準量子重力理論におけるローレンツ型ホイーラー＝デイット制約の数学的に整合性のある、摂動論的でない量子化を提供すること。
• ユークリッド的およびローレンツ的領域の両方において、自己随伴拡張が存在することを証明する対称的ハミルトニアン制約演算子の構成。
• 群平均化法を用いて、制約の核全体に適用可能な完全な物理的ヒルベルト空間と物理的内積の定義。
• 理論における物理的可観測量の定義と明示的構成、特にスピンネットワーク状態に基づく非自明な例の同定。
• 新しい演算子構成の文脈におけるウィック回転の役割を明確にし、正則化手順における曖昧さを解消すること。

提案手法

• 本稿は、群平均化法を用いて非対称ホイーラー＝デイット演算子の核を導出し、分布的解の空間に自然な内積を誘導する。
• 対称的ハミルトニアン制約を定義し、ヒルベルト空間 H 上のスペクトル論理を用いて、ユークリッド的およびウィック回転された演算子の両方における自己随伴拡張の存在を証明する。
• ハミルトニアン制約の作用は、特定の幾何的および位相的条件を満たす頂点と辺を有する、スピン 1/2 の「特異な」辺が1つまたは2つ追加されたグラフ上でスピンネットワーク状態を生成することとして特徴づけられる。
• 解を非可約成分に分解できる「ソース」スピンネットワーク w₀(w) の概念を導入し、物理的状態の体系的分類を可能にする。
• 三重項成分 e_a^i が不適切に定義された古典的式を、体積演算子を介して明確に定義された量子演算子 {A_a^i, V} に置き換えることで、理論を構築する。これにより制約は多項式的かつ有限になる。
• この枠組みを用いて、ホロノミーと体積演算子の低次の多項式を解くことにより、量子アインシュタイン方程式の解を構成する。制約演算子の固有値スペクトルは、主に体積演算子の固有値スペクトルによって決定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的枠組みにおける4次元ローレンツ型非摂動的正準量子重力理論に対して、明確に定義され、対称的かつ自己随伴なハミルトニアン制約演算子を構成できるか？
• RQ2 ホイーラー＝デイット制約の完全な物理的ヒルベルト空間とは何か？ その内積構造はどのように決定されるか？
• RQ3 この量子重力理論における物理的可観測量はどのように定義され、明示的に構成できるか？
• RQ4 ウィック回転は量子理論においてどのような役割を果たし、正則化後にさえも適切に定義されるか？
• RQ5 正則化の選択が量子理論の物理的内容にどの程度影響を与えるか？ 物理的に意味のある正則化スキームを選択可能か？

主な発見

• 非対称ホイーラー＝デイット制約の完全な核は、接続する辺の接線が同一平面上にあるという条件下で、任意の次数の頂点を持つグラフ上で定義された分布的状態によって張られる。
• 核上の物理的内積は、参考文献[10]で導出されたものと一致し、群平均化による以前の結果との整合性が確認される。
• 対称的ハミルトニアン制約は自己随伴拡張を有し、ユークリッド的およびウィック回転された領域の両方でその存在が証明されている。
• ハミルトニアン制約の作用は、元のグラフにスピン 1/2 の「特異な」辺が1つまたは2つ追加された新しいスピンネットワーク状態を生成する。新しい辺は、特定の幾何的および位相的条件を満たす。
• 量子制約演算子はホロノミーと体積演算子の低次の多項式であるため、量子アインシュタイン方程式の正確な解が計算的に扱いやすい。
• e_a^i を {A_a^i, V} に置き換える正則化のテクニックにより、もともとは不適切に定義された演算子—例えば長さを測定するものや漸近的対称性を生成するもの—が、量子理論において明確に定義され、有限になる。