[論文レビュー] Quantum walk search algorithms and effective resistance

Stephen Piddock|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、初期分布からマークされた頂点集合への有効抵抗 $R_{\sigma,M}$ と総重みの上界 $\tilde{W}$ を用いて、$O(\sqrt{R_{\sigma,M} \tilde{W}} \log^3(|M|))$ の量子ウォークステップでマークされた頂点を同定する量子ウォークアルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、位相推定を用いて電流フロー状態を準備し、それを測定することで高確率でマークされた頂点をサンプリングするというベルフスの検出フレームワークを拡張したものである。

ABSTRACT

We consider the problem of finding a marked vertex in a graph from an arbitrary starting distribution, using a quantum walk based algorithm. We work in the framework introduced by Belovs which showed how to detect the existence of a marked vertex in $O(\sqrt{RW})$ quantum walk steps, where $R$ is the effective resistance and $W$ is the total weight of the graph. Our algorithm outputs a marked vertex in the same runtime up to a logarithmic factor in the number of marked vertices. When starting in the stationary distribution, this recovers the recent results of Ambainis et al. We also describe a new algorithm to estimate the effective resistance $R$.

研究の動機と目的

• 量子ウォークに基づくアルゴリズムを設計し、マークされた頂点の存在を検出するのではなく、実際にその頂点を出力することを目的とする。
• 任意の初期分布から出発する場合に、ベルフスの量子ウォーク検出アルゴリズムを一般化し、頂点出力機能を追加することを目的とする。
• 複数のマークされた頂点が存在する場合でも、複数のマークされた頂点に対する最良の既知の結果と同等の実行時間となるようにすること。特に、定常分布から出発する場合には、アンバインスらの $O(\sqrt{HT})$ 結果を再現することを目的とする。
• 乗法的誤差 $\epsilon$ を制御する条件下で、有効抵抗 $R_{s,M}$ を $O(\sqrt{R_{s,M} \tilde{W}} / \epsilon^2)$ ステップで推定する新しい手法を提供すること。
• 任意のグラフにおいて電流フロー状態がどのように出現するかを明確で一般的な証明により確立すること。これは、従来の木構造特有の性質に依存する結果を拡張するものである。

提案手法

• 初期状態とマークされた頂点集合の間に電圧源を模倣する追加の辺を含む変更されたグラフ $G'$ を構築し、電流フロー状態に対する位相推定を可能にする。
• $G'$ の量子ウォーク作用素に対して位相推定を適用し、初期分布からマークされた頂点への電流フロー状態に近似する状態 $|\Phi\rangle$ を準備する。
• 位相推定の結果とすべてゼロのアタシリア状態との重なりを推定するためにアモニチュード推定を適用し、これにより有効抵抗 $R_{\sigma,M}$ に関連する量を得る。
• 成功確率を増幅させるために、スケーリングされた抵抗パrameter $x \in [a,b]$ に対する確率密度 $1/(x \log(b/a))$ を持つ分布から $x$ をサンプリングする。
• 有効抵抗 $R_{s',M'}(x)$ の $x$ に関する微分が電流 $q(x)$ に等しく、最悪ケースで $q(x) \geq 1/|M|$ であることから、$b/a = O(|M|)$ となるように区間 $[a,b]$ をバウンドする。
• 得られた $x$ 値に対して位相推定と測定を繰り返し、マークされた頂点が得られるまで続ける。この場合、期待される試行回数は $O(\log(b/a))$ となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マークされた頂点の存在を検出する量子ウォークアルゴリズムを、任意の初期分布から出発する場合に、実際にマークされた頂点を出力できるように変更可能か？
• RQ2 特に複数のマークされた頂点が存在する場合に、有効抵抗と総グラフ重みの観点から、マークされた頂点を発見するための最適な実行時間は何か？
• RQ3 量子ウォークステップを用いて、乗法的誤差 $\epsilon$ を制御する条件下で、ソースとマークされた集合間の有効抵抗をどのように推定できるか？
• RQ4 位相推定から生じる電流フロー状態を、木構造に限らず一般のグラフにおいても高確率でマークされた頂点をサンプリングするために使用可能か？
• RQ5 任意の分布から出発する場合に、アルゴリズムの実行時間はマークされた頂点数 $|M|$ にどのように依存するか？

主な発見

• アルゴリズムは $O(\sqrt{R_{\sigma,M} \tilde{W}} \log^3(|M|))$ の量子ウォークステップでマークされた頂点を出力し、$|M|$ の対数因子を除いて、既知の最良の実行時間と一致する。
• 初期分布 $\sigma$ が定常分布である場合、アルゴリズムはアンバインスらの $O(\sqrt{HT})$ 実行時間（$|M|$ の対数因子を除いて）を再現する。
• 有効抵抗 $R_{s,M}$ は、乗法的誤差 $\epsilon$ を $O(\sqrt{R_{s,M} \tilde{W}} / \epsilon^2)$ ステップで推定可能であり、繰り返し低精度の位相推定を用いることでさらなる改善が可能である。
• サンプリング手順で用いる区間 $[a,b]$ は $b/a = O(|M|)$ を満たしており、これにより実行時間の $\log^3(b/a)$ 要因が $O(\log^3(|M|))$ に抑えられる。
• 有効抵抗の微分が追加電流 $x$ に関して電流 $q(x)$ に等しく、$q(x) \geq 1/|M|$ であることから、$R_{s',M'}(b) - R_{s',M'}(a) \geq (b-a)/|M|$ が成り立ち、区間のバウンドが可能となる。
• 電流フロー状態の準備に関する証明は、木構造に依存せず、すべてのグラフに適用可能である。これは、線形系における電流フローの連続性と線形性を利用した一般化されたものである。