[논문 리뷰] Quark and lepton flavors with common modulus $τ$ in $A_4$ modular symmetry

Hiroshi Okada, Morimitsu Tanimoto|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 02.

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한 줄 요약

이 논문은 공통 모듈러스 $\tau$ 를 가진 $A_4$ 모듈러 대칭을 사용하여 쿼크와 렙톤의 통합된 풍미 모델을 제안한다. 쿼크와 렙톤의 질량 행렬은 각각 무게 2, 4, 6인 모듈러 형식으로 구성된다. 연구 결과, $\tau \approx i$ 는 쿼크 측면에서 관측된 CKM 혼합 각도와 CP 위반을 성공적으로 재현하며, 공통 $\tau$ 에서 중성미온 질량의 합이 최소 140 meV로 제약을 받고, 이는 정상적인 중성미온 계급화를 지지한다.

ABSTRACT

We study quark and lepton mass matrices with the common modulus $τ$ in the $A_4$ modular symmetry. The viable quark mass matrices are composed of modular forms of weights $2$, $4$ and $6$. It is remarked that the modulus $τ$ is close to $i$, which is a fixed point in the fundamental region of SL$(2,Z)$, and the CP symmetry is not violated. Indeed, the observed CP violation is reproduced at $τ$ which is deviated a little bit from $τ=i$. The charged lepton mass matrix is also given by using modular forms of weights $2$, $4$ and $6$, where five cases have been examined. The neutrino mass matrix is generated in terms of the modular forms of weight $4$ through the Weinberg operator. Lepton mass matrices are also consistent with the observed mixing angles at $τ$ close to $i$ for NH of neutrino masses. Allowed regions of $τ$ of quarks and leptons overlap each other for all cases of the charged lepton mass matrix. However, the sum of neutrino masses is crucial to test the common $τ$ for quarks and leptons. The minimal sum of neutrino masses $\sum m_i$ is $140$meV at the common $τ$. The inverted hierarchy of neutrino masses is unfavorable in our framework. It is emphasized that our result suggests the residual symmetry $\mathbb{Z}_2^{S}=\{ I, S \}$ in the quark and lepton mass matrices.

연구 동기 및 목표

• 공통 $A_4$ 모듈러 대칭과 단일 모듈러스 $\tau$ 를 가진 쿼크와 렙톤의 질량 구조를 통합하는 것.
• 무게 2, 4, 6인 모듈러 형식을 사용하여 실현 가능한 쿼크와 렙톤 질량 행렬을 구성하는 것.
• 동일한 $\tau$ 가 관측된 쿼크 혼합 각도(CKM)와 렙톤 혼합 각도(PMNS)에 동시에 CP 위반을 재현할 수 있는지 테스트하는 것.
• 특히 정상적 또는 역전된 계층화에 대해 중성미온 질량 합 제약 조건과의 일관성을 검토하는 것.
• 질량 행렬에서 잔류 대칭 $\mathbb{Z}_2^S = \{I, S\}$ 이 이 프레임워크의 핵심 특징임을 규명하는 것.

제안 방법

• 쿼크와 전하 렙톤 질량 행렬을 $A_4$ 모듈러 대칭 하에서 무게 2, 4, 6인 모듈러 형식으로 구성한다.
• 무게 4인 모듈러 형식을 사용하여 Weinberg 연산자를 통해 중성미온 질량 행렬을 생성한다.
• 모듈러스 $\tau$ 를 쿼크와 렙톤 간에 공통으로 고정하며, $\tau \approx i$ 를 $SL(2,\mathbb{Z})$ 기본 영역의 고정점으로 설정한다.
• 이론적 예측을 실험 데이터의 혼합 각도와 CP 위반과 비교하기 위해 PMNS 혼합 행렬의 매개변수화를 사용한다.
• 모델의 실현 가능성을 시험하기 위해 효과적 메이저라 중성미온 질량 $\langle m_{ee} \rangle$ 과 중성미온 질량의 합 $\Sigma m_\nu$ 를 계산한다.
• 쿼크와 렙톤 현상학과 일치하는 허용 영역을 찾기 위해 $\tau$ 의 광범위한 스캔을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공통 모듈러스 $\tau$ 를 가진 $A_4$ 모듈러 대칭에서, 동일한 $\tau$ 가 관측된 쿼크 혼합 각도(CKM)와 함께 쿼크 측면의 CP 위반을 동시에 재현할 수 있는가?
• RQ2 동일한 $\tau$ 는 렙톤 측면에서 큰 혼합 각도와 CP 위반, 특히 PMNS 행렬에서의 CP 위반을 재현할 수 있는가?
• RQ3 공통 $\tau$ 프레임워크에서 허용되는 중성미온 질량의 합 $Σ m_\nu$ 의 최소값은 얼마이며, 이는 중성미온 질량 계층화에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ4 모델은 질량 행렬에서 잔류 대칭 $\mathbb{Z}_2^S = \{I, S\}$ 을 예측하는가? 그리고 이 대칭은 관측된 질량 혼합과 일관성 있는가?
• RQ5 PMNS 행렬의 CP 위반 딜라 위상 $\delta^\ell_{\text{CP}}$ 은 $\tau$ 에 따라 어떻게 변화하는가? 그리고 T2K와 NOvA 데이터와 호환되는가?

주요 결과

• 모듈러스 $\tau$ 는 $SL(2,\mathbb{Z})$ 의 고정점인 $i$ 에 가까운 것으로 밝혀졌으며, 이는 자연스럽게 CP 위반을 억제하고, 관측된 CP 위반은 $\tau = i$ 에서의 미세한 이탈로 발생한다.
• 무게 2, 4, 6인 모듈러 형식으로 구성된 쿼크 질량 행렬은 $\tau \approx i$ 에서 관측된 CKM 혼합 각도와 CP 위반을 성공적으로 재현한다.
• 무게 2, 4, 6인 형식으로 구성된 전하 렙톤 질량 행렬은 $\tau \approx i$ 일 때 다섯 가지 실현 가능한 경우를 제공하며, 모두 관측된 렙톤 혼합 각도와 일치한다.
• 무게 4인 모듈러 형식을 사용한 Weinberg 연산자를 통해 생성된 중성미온 질량 행렬은 정상적 계층화(NH)에서 $\tau \approx i$ 에서 PMNS 혼합 각도와 CP 위상 모두를 재현한다.
• 쿼크와 렙톤에 대해 허용되는 $\tau$ 의 영역은 전하 렙톤 질량 행렬의 다섯 가지 경우 모두에서 겹치며, 공통 $\tau$ 의 일관성을 뒷받침한다.
• 공통 $\tau$ 에서 중성미온 질량의 합 $Σ m_\nu$ 의 최소값은 140 meV 로 발견되었으며, 이 경우 역전된 계층화(IH)는 강하게 배제된다.