[論文レビュー] Quasidiagonality of crossed products

Stefanos Orfanos|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、分離可能な単位的擬対角的 C*-代数 $A$ と、離散的可算なアーベル的極大的ほぼ周期的群 $G$ との間に、ほぼ周期的である作用 $ \alpha$ が与えられたとき、交叉積 $A\rtimes_{\alpha}G$ が擬対角的であることを証明している。証明は、$G$ の Følner 集とタイリングを用いて擬対角的射影を構成し、Pimsner と Voiculescu の $\mathbb{Z}$-作用に関する結果を一般化する。

ABSTRACT

We prove that the crossed product A x G of a separable, unital, quasidiagonal C*- algebra A by a discrete, countable, amenable, maximally almost periodic group G is quasidiagonal, provided that the action is almost periodic.

研究の動機と目的

• Pimsner と Voiculescu の $A\rtimes_{\alpha}\mathbb{Z}$ の擬対角性に関する結果を、より広いクラスの群へ一般化すること。
• アーベル的かつ極大的ほぼ周期的群作用の下で、単位的で分離可能な擬対角的 C*-代数の交叉積の擬対角性を確立すること。
• 残留有限アーベル群における Følner 集とタイリングを用いて、擬対角的射影を構成する方法を開発し、擬対角性を実現すること。
• 一般化された Bunce–Deddens 代数への応用を主な応用例として、一般化可能な枠組みを提供すること。

提案手法

• $G$ の残留有限性とアーベル性を活用して、$G = K_n L_n$ という形の Følner 集とタイリングを構成し、$L_n$ を有限指数の正規部分群とする。
• $\mathcal{H} \otimes \ell^2(G)$ 上の正規共変表現 $\sigma \otimes \lambda$ を用いて、交叉積を作用素の C*-代数として実現する。
• 各陪集合 $yL_n$ 上の特性関数 $\phi_n$ を用いて、$\ell^2(G)$ 上の有限ランク射影 $P_n$ を構成する。
• $\mathcal{H}$ 上に補助的射影 $Q_n$ を導入し、$\| [\rho(a_i), Q_n] \| \to 0$ ($n \to \infty$) となるようにし、$\rho(a_i)$ の擬対角性を保証する。
• $Q_n \otimes P_n$ を組み合わせて、$\mathcal{H} \otimes \ell^2(G)$ 上の射影の列を構成し、全体の代数に対する擬対角性を実現する。
• 作用 $\alpha$ が有限生成部分群上でほぼ周期的であることを利用して、$l \in L_n \cap K_n K_n^{-1} F_n$ に対して $\| \alpha(l)a_i - a_i \| \leq 1/n$ が成り立つようにし、交換子のノルムを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離可能な単位的擬対角的 C*-代数 $A$ と離散的可算群 $G$ に対して、$A\rtimes_{\alpha}G$ が擬対角的となる条件は何か？
• RQ2 Pimsner と Voiculescu の $\mathbb{Z}$-作用に関する結果を超えて、アーベル的で極大的ほぼ周期的な群 $G$ に対して、$A\rtimes_{\alpha}G$ の擬対角性を確立できるか？
• RQ3 アーベル的で残留有限な群におけるタイリング構造を、交叉積の擬対角的射影の構成にどう応用できるか？
• RQ4 群作用 $\alpha$ のほぼ周期性が、交叉積の擬対角性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 この手法を、一般化された Bunce–Deddens 代数のような擬対角的 C*-代数の構成に応用できるか？

主な発見

• 分離可能な単位的擬対角的 C*-代数 $A$、離散的可算なアーベル的極大的ほぼ周期的群 $G$、およびほぼ周期的作用 $\alpha$ の下で、交叉積 $A\rtimes_{\alpha}G$ は常に擬対角的である。
• 射影の列 $Q_n \otimes P_n$ を用いて擬対角性が確立され、$\mathcal{H} \otimes \ell^2(G)$ 上で強収束する恒等写像に近づき、$\| [\sigma(a_i), Q_n \otimes P_n] \| \to 0$ ($n \to \infty$) を満たす。
• 交換子のノルム $\| [\sigma(a_i), Q_n \otimes P_n] \|$ は、$i \leq n$ のとき $4/n$ で有界であり、ゼロへの収束を示している。
• 構成は、$F_n$ を含む Følner 集 $F_n$ を持つ $K_n$ と、有限指数の正規部分群 $L_n$ を持つタイリング分解 $G = K_n L_n$ に依存している。
• この手法は、$G$ が極大的ほぼ周期的であることから、すべての有限生成部分群に適用可能である（残留有限性による）。
• 結果は、Pimsner と Voiculescu の $\mathbb{Z}$-作用に関する定理を一般化し、一般化された Bunce–Deddens 代数 $C(\tilde{G}) \rtimes G$ にも適用可能である。