[論文レビュー] Quasitopoi over a base category

Eduardo J. Dubuc, Luis Español González|ArXiv.org|Dec 22, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、基本圏上の具体的準トポスのための新しい枠組みを構築するために、$f$-正則圏と$f$-正則関手の概念を導入する。これはペノンの初等的準トポスに関する研究を一般化するものであり、$f$-正則圏上の厳密準空間の圏が自身で$f$-準トポスであることを確立し、厳密準空間への埋め込みに左随伴を備えることを示し、関連する関手が$f$-正則であることを示す。これにより、点付き準トポスの理論が構築される。

ABSTRACT

In this paper we develop the theory of quasispaces (for a Grothendieck topology) and of concrete quasitopoi, over a suitable base category. We introduce the notion of f-regular category and of f-regular functor. The f-regular categories are regular categories in which every family with a common codomain can be factorized into a strict epimorphic family followed by a (single) monomorphism. The f-regular functors are (essentially) functors that preserve finite strict monomorphic and arbitrary strict epimorphic families. These two concepts furnish the context to develop the constructions of the theory of concrete quasitopoi over a suitable base category, which is a theory of pointed quasitopoi. Our results on quasispaces and quasitopoi, or closely related ones, were already established by Penon, but we prove them here with different assumptions and generality, and under a completely different light.

研究の動機と目的

• 基本圏上の具体的準トポスのための新しい枠組みを、$f$-正則圏と関手を用いて開発すること。
• 有界性条件を排除することでペノの初等的準トポス理論を一般化すること。これにより、大規模なサイト上の分離層のような重要な例も含めることができる。
• $f$-正則圏上の厳密準空間の圏が$f$-準トポスであることを確立し、有界準トポスよりもより自然かつ一般的な設定を提供すること。
• すべての準空間への厳密準空間の埋め込みが左随伴を備えること、したがってコリフレクション関手を構成すること。

提案手法

• すべての共通の余域を持つ族が、厳密なエピモルフィズム族とモノモルフィズムに分解できるような、$f$-因子化を備えた正則圏として$f$-正則圏を定義する。
• 有限の厳密なモノモルフィズム族と任意の厳密なエピモルフィズム族を保存する関手として、$f$-正則関手を定義する。
• 先行研究における矢印族の体系的理論を用いて、一般の文脈において厳密なエピモルフィズム族を最終的かつ全射的な族として特徴付ける。
• 基本圏$\mathbb{S}$上に、クラス$\mathbb{I}$の対象によってインデックスづけられた許容的写像の構造を備えた準空間の圏を構成する。
• 引き戻しと適合性に関する普遍性を用いて、厳密準空間を定義し、$f$-正則構造と整合性を保つようにする。
• 厳密準空間から基本圏への関手がトポロジカルであること、および厳密準空間からすべての準空間への埋め込みが左随伴を備えることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界な設定を超えて、大規模なサイト上の分離層のようなカテゴリを含むように、準トポス理論をどのように一般化できるか？
• RQ2 どのような条件下で、$f$-正則圏上の厳密準空間の圏が$f$-準トポスになるか？
• RQ3 すべての準空間への厳密準空間の埋め込みが左随伴を備えることは可能か？ そしてこれは圏の構造にどのような意味を持つのか？
• RQ4 $f$-正則圏と関手は、サイズ制限なしに準トポスを構築・特徴付ける自然な枠組みをどのように提供するか？
• RQ5 厳密準空間から基本圏への関手$q_s$の役割は何か？ そして幾何的モルフィズムとどのように関係するか？

主な発見

• $f$-正則圏$\mathbb{S}$上の厳密準空間の圏は、自身で$f$-準トポスであり、ペノの初等的準トポスを一般化する。
• すべての準空間への厳密準空間の埋め込み関手は左随伴を備え、任意の与えられた準空間に最小の厳密準空間構造を構成する。
• 厳密準空間から基本圏への関手$q_s: s\mathbb{Q} \to \mathbb{S}$はトポロジカルであり、$s\mathbb{Q}$は初期族について閉じている。
• 関手$q_s$と$i$（埋め込み）は$f$-正則であり、すなわち厳密なエピモルフィズム族とモノモルフィズム族の関係構造を保存する。
• 任意の対象$S$における$S_{\bot_{\ell}}$の準空間の構成は、$I \in \mathbb{I}$に対して$uI \to S$の写像を用いて、$S$に最小の厳密準空間構造を生成する標準的な方法を提供する。
• 理論は階層を確立する：有界準トポス $\Rightarrow$ $f$-準トポス $\Rightarrow$ 初等的準トポスであり、$f$-準トポスは具体的準トポスの最も一般的かつ自然な設定である。