[论文解读] Quiver Schur algebras and cohomological Hall algebras

Tomasz Przeździecki|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 48被引用 4

一句话总结

本文建立了广义的KLR代数的 quiver Schur 代数与Kontsevich和Soibelman的上同调Hall代数（CoHA）之间的深层代数联系。它将quiver Schur代数实现为CoHA上算子的卷积代数，通过Demazure算子重述CoHA的shuffle乘积，并为带有对合的quiver引入混合quiver Schur代数，将其与上同调Hall模联系起来。

ABSTRACT

We establish a connection between a generalization of KLR algebras, called quiver Schur algebras, and the cohomological Hall algebras of Kontsevich and Soibelman. More specifically, we realize quiver Schur algebras as algebras of multiplication and comultiplication operators on the CoHA, and reinterpret the shuffle description of the CoHA in terms of Demazure operators. We introduce ``mixed quiver Schur algebras" associated to quivers with a contravariant involution, and show that they are related, in an analogous way, to the cohomological Hall modules defined by Young. We also obtain a geometric realization of the modified quiver Schur algebra, which appeared in a version of the Brundan-Kleshchev-Rouquier isomorphism for the affine q-Schur algebra due to Miemietz and Stroppel.

研究动机与目标

• 建立来自不同数学背景的quiver Schur代数与上同调Hall代数（CoHA）之间的结构性和范畴性联系。
• 通过引入部分旗而非仅全旗，推广KLR代数的几何构造，从而得到更广泛的quiver Schur代数类。
• 在仿射 $q$-Schur代数的背景下，通过Brundan-Kleshchev-Rouquier同构先前定义的修正quiver Schur代数，提供其几何实现。
• 通过引入混合quiver Schur代数，将框架扩展到带有反变对合的quiver，并将其与上同调Hall模联系起来。
• 以Demazure算子重新诠释CoHA的shuffle乘积结构，为CoHA乘法提供新的代数视角。

提出的方法

• 将quiver Schur代数 $\mathcal{Z}_{\mathbf{c}}$ 构造为参数化带旗quiver表示的Steinberg型流形的等变Borel-Moore同调。
• 通过 $\mathfrak{Q}_{\mathbf{c}} \times_{\mathfrak{R}_{\mathbf{c}}} \mathfrak{Q}_{\mathbf{c}}$ 上的卷积积定义代数结构，将KLR代数构造推广至部分旗。
• 引入 $\mathcal{Z}_{\mathbf{c}}$ 的初等生成元——合并、分裂和多项式，类比于KLR生成元，并通过基本类的上推证明Bott-Samelson型基。
• 使用Demazure算子重新诠释CoHA的shuffle乘积公式，为CoHA乘法提供新的代数描述。
• 为带有对合 $\theta$ 的quiver引入混合quiver Schur代数，配备对偶结构 $ (\sigma, \varsigma) $，并引入参数化代数结构的等秩向量组合 $ \underline{\mathbf{d}} \rightsquigarrow \mathbf{c} $。
• 在等秩组合上定义 $ \mathbb{Z}_2 \wr \mathsf{Sym}_m $-作用，并利用 $ \wedge_\beta^\theta $-运算描述混合情形下的序关系和代数关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 quiver Schur代数如何被实现为上同调Hall代数（CoHA）上算子的代数？
• RQ2 当以Demazure算子表达时，CoHA的shuffle乘积结构的代数结构是什么？
• RQ3 与对合quiver相关的混合quiver Schur代数如何与上同调Hall模相关联？
• RQ4 在仿射 $q$-Schur代数背景下出现的修正quiver Schur代数能否通过带旗quiver表示实现几何化？
• RQ5 等秩向量组合与带符号的置换作用在混合quiver Schur代数结构中起什么作用？

主要发现

• quiver Schur代数 $\mathcal{Z}_{\mathbf{c}}$ 允许由对角Bott-Samelson流形的基本类上推生成的Bott-Samelson基。
• 代数 $\mathcal{Z}_{\mathbf{c}}$ 由初等合并、分裂和多项式生成，推广了KLR代数的生成元集合。
• CoHA的shuffle乘积结构通过Demazure算子重新表述，为CoHA乘法提供了新的代数解释。
• 与对合quiver及对偶结构相关的混合quiver Schur代数，其作用于上同调Hall模的方式与无分级情形类似。
• 先前在仿射 $q$-Schur代数设定中通过同构定义的修正quiver Schur代数，现被几何实现为带旗quiver流形的等变Borel-Moore同调。
• 等秩向量组合 $\underline{\mathbf{d}} \rightsquigarrow \mathbf{c}$ 与 $\wedge_\beta^\theta$-运算为理解混合quiver Schur代数及其表示的结构提供了组合框架。