[論文レビュー] Random Iteration of Maps on a Cylinder and diusive behavior

O. Castej, V. A. Kaloshin|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、円筒上の写像の確率的合成を用いて確率的力学系を研究するモデルを提案し、繰り返し適用される確率的写像によって拡散的挙動が生成されることを示している。主な貢献は、やや緩い条件下でも、系が拡散的スケーリングを示すことを証明したことである。位置の分散が時間とともに線形に増加するという事実は、決定論的ではあるが確率的な設定下で異常拡散が確認されることを裏付けている。

ABSTRACT

In this paper we propose a model of random compositions of maps of a cylinder, which in the simplied

研究の動機と目的

• 決定論的系における拡散的挙動の出現を理解すること。
• 円筒上での繰り返し確率的写像の長期的統計的性質を分析すること。
• 決定論的力学系の下でも拡散的スケーリングを示すための条件を確立すること。
• 幾何的制約のある設定において、決定論的力学系と確率的拡散過程を橋渡しすること。

提案手法

• 写像の選択に確率的要因を含む、円筒上の向きを保つ写像の確率的合成としてシステムをモデル化する。
• 繰り返しにおける確率密度の進化を分析するために、移動作用素の技術を用いる。
• 混合速度を制御し、エルゴード性を確立するために、スペクトルギャップの推定を適用する。
• n回の反復後の位置の分散を分析し、拡散的スケーリングを検出する。
• 適切な条件下で、位置過程に対する中心極限定理を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円筒上の写像の確率的合成が、どのような条件下で拡散的挙動を示すか？
• RQ2 このような系において、位置の分散は反復回数とともにどのように増加するか？
• RQ3 確率的選択を伴う決定論的写像は、ブラウン運動に類似した統計的挙動を生じさせ得るか？
• RQ4 円筒の幾何的性質は、拡散的力学系の実現または制限にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 系は拡散的スケーリングを示し、位置の分散が反復回数に比例して線形に増加する。
• 写像族および選択プロセスに関するやや緩い条件下でも、分散の線形増加が確立される。
• 位置過程に対して中心極限定理が成り立ち、平均回りのガウス的フラクチュエーションが確認される。
• 関連する移動作用素のスペクトルギャップが、拡散的挙動に十分な混合を保証する。