[論文レビュー] Random Walks and Levy Processes Conditioned Not to Overshoot

Sergey Foss, Anatolii A. Puhalskii|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、高い水準を越えないように条件づけられたランダムウォークおよびLévy過程の条件付き挙動を研究しており、特に指数モーメント条件が成立しない場合に注目している。非正のスケールで正の安定分布の吸引域仮定の下で、レベル1に到達するまで停止するスケーリングされた過程の弱収束極限を確立し、線形ドリフトの場合とは異なり非線形で重たい尾を持つスケーリング極限が得られることを示している。

ABSTRACT

Let ξ1, ξ2, . . . be i.i.d. random variables with negative mean. Suppose that Eexp(λξ1) 0 and that there exists γ > 0 with Eexp(γξ1) = 1. It is known that if, in addition, E ξ1 exp(γξ1) < ∞, then the most likely way for the random walk Sk = Pk=1 ξi to reach a high level is to follow a straight line with a positive slope. We study the case where E ξ1 exp(γξ1) = ∞. Assuming that the distribution F(dx) = exp(γx)P(ξ1 ∈ dx) belongs to the domain of attraction of a spectrally positive stable law, we obtain a weak convergence limit theorem as r → ∞ for the conditional distribution of the process r −1 P ⌊t/F (r,∞)⌋ i=1 ξi, t ≥ 0 � stopped at the time when it reaches level 1 given that the latter event occurs. The limit is ′ ∞

研究の動機と目的

• 負の平均を持つランダムウォークの典型的な経路挙動を、高い水準を越えないように条件づけた状態で理解すること。
• 古典的な大偏差近似を無効にする、E[ξ₁exp(γξ₁)] が無限大である場合を分析すること。
• 吸収がレベル1で発生するとする条件付き確率の下で、スケーリングされた過程の弱収束極限を導出すること。
• 元の分布 F(dx) = exp(γx)P(ξ₁ ∈ dx) がスペクトル的に正の安定分布の吸引域にある場合の極限過程を特徴づけること。

提案手法

• ランダムウォーク S_k = ∑_{i=1}^k ξ_i が、越えないように高水準 r に到達するまでの事象で条件づける。
• 時間スケールを、増分分布の尾確率 F(r, ∞) でスケーリングして正規化する。
• E[exp(γξ₁)] = 1 となる γ > 0 を用いて指数傾きを適用し、測度 F(dx) = exp(γx)P(ξ₁ ∈ dx) を定義する。
• F が指数的指数 α ∈ (1, 2) のスペクトル的に正の安定分布の吸引域にあると仮定し、重たい尾の挙動を保証する。
• 弱収束技術を用いて、r → ∞ の下で r⁻¹ ∑_{i=1}^{⌊t/F(r,∞)⌋} ξ_i の極限を分析する。
• 過程を最初にレベル1に到達した時点で停止させ、この条件付き測度の下で極限分布を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数モーメント条件が成立しない場合、負の平均を持つランダムウォークが高水準を越えないように条件づけられたときの典型的な経路は何か？
• RQ2 E[ξ₁exp(γξ₁)] = ∞ の場合、条件づけられた過程のスケーリング極限は、古典的な線形ドリフトの場合とどのように異なるか？
• RQ3 傾きをかけた分布 F(dx) がスペクトル的に正の安定分布の吸引域にある場合、スケーリングされた過程の極限挙動は何か？
• RQ4 吸収がレベル1で発生するとする条件下で、スケーリングされ、停止させた過程に対して非退化した弱収束極限が存在するか？
• RQ5 極限過程の性質は何か？また、増分の重たい尾構造はどのように反映されるか？

主な発見

• 指数モーメント条件が成立しないにもかかわらず、条件付き測度の下でスケーリングされた過程は r → ∞ の下で非退化極限に弱収束する。
• 有限指数モーメントの場合とは異なり、正の勾配を持つ直線ではないが、重たい尾の増分に起因する非線形スケーリングを示す。
• 極限過程は指数 α ∈ (1, 2) のスペクトル的に正の安定分布の吸引域から生じており、自己相似的かつ重たい尾を持つ構造を示している。
• 時間スケーリングは F(r, ∞)、つまり尾確率によって決定され、レベル1に到達するための有効な時間枠を支配する。
• 条件付き分布は越えを避ける経路に集中し、無条件または大偏差の枠組みとは異なる極限挙動を示す。
• 極限過程は非マルコフ的かつ経路依存的構造を示しており、越えを避けるという条件付けが反映されている。