[論文レビュー] Rank Jumps and Growth of Shafarevich--Tate Groups for Elliptic Curves in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$-Extensions

Lea Beneish, Debanjana Kundu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 50被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Q 上の楕円曲線に対する Z/pZ-拡大におけるランクの増加およびセレマー群の挙動を、Iwasawa 理論を用いて研究する。λ-不変量と Kida の公式を用いて、p-主セレマー群が自明なランク 0 の楕円曲線に対して、無限個の巡回的 p 次拡大においてランクが変化しないことを証明する——これはこのような塔におけるランク安定性についての、初の無条件の結果である。また、p-主セレマー群が正の密度の拡大において非自明になることも示され、シャファレヴィッチ＝タイト群の増大についての示唆が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we use techniques from Iwasawa theory to study questions about rank jump of elliptic curves in cyclic extensions of prime degree. We also study growth of the $p$-primary Selmer group and the Shafarevich--Tate group in cyclic degree-$p$ extensions and improve upon previously known results in this direction.

研究の動機と目的

• 楕円曲線のモーデル＝ヴェイユランクが Q の Z/pZ-拡大においていつ不変のまま保たれるかを理解すること。
• 基底拡大の際に p-主セレマー群が自明のままである Z/pZ-拡大の割合を特定すること。
• 巡回的 p 次拡大における p-主セレマー群およびシャファレヴィッチ＝タイト群の増大を分析すること。
• このような拡大においてランクが増加しない、あるいはシャファレヴィッチ＝タイト群が増大する条件を調査すること。
• Iwasawa 不変量と数体の塔におけるモーデル＝ヴェイユ群の安定性との間の関係を確立すること。

提案手法

• サイクロトミック Zp-拡大上での p-主セレマー群の λ-不変量を分析するために Iwasawa 理論を用いる。
• Kida の公式を応用し、拡大間でのセレマー群の増大を関連付ける。
• オイラー特性多項式を用いて、ランクの跳躍やシャファレヴィッチ＝タイト群の増大に関する基準を導出する。
• フロベニウス密度定理およびチェボタレフ密度定理を用いて、所望の性質を有する拡大の割合を推定する。
• 高さで順序付けられた楕円曲線における、還元型のランクからの独立性をモデル化する仮定 Hyp ind を用いる。
• 特定の Z/pZ-拡大においてセレマー群が非自明になる素数の密度に対する明示的な下界を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定されたランク 0 の楕円曲線 E/Q で、p-主セレマー群が自明であるものに対して、Q の Z/pZ-拡大のうち、基底拡大の際に p-主セレマー群が自明のままである割合は何か？
• RQ2 素数 p ≠ 2,3 に対して、少なくとも一つの Z/pZ-拡大が存在し、その際に p-主セレマー群が基底拡大で自明のままであるような、Q 上の楕円曲線の割合は何か？
• RQ3 どのくらいの Z/pZ-拡大において p-主セレマー群が非自明になるか？ その密度は何か？
• RQ4 Iwasawa 不変量を用いて、Z/pZ-拡大への基底拡大におけるランク増加とシャファレヴィッチ＝タイト群の増大を区別できるか？
• RQ5 特に CM および非 CM 楕円曲線に対して、モーデル＝ヴェイユ群が Z/pZ-拡大で不変のまま保たれる条件は何か？

主な発見

• p ≥ 5 で、p における残余ガロア表現が全射であり、λ-不変量および µ-不変量が自明な非 CM 楕円曲線 E/Q に対して、サイクロトミック Zp-拡大のすべての層においてランクが 0 のまま保たれる Z/pZ-拡大が無限に存在する。
• p-主セレマー群は、Q(μq) 内の唯一の Z/pZ-拡大において、q ≡ 1 (mod p) を満たす素数 q の集合で、密度が少なくとも p / [(p−1)²(p+1)] 以上に非自明になる。
• Q 上のランク 0 の楕円曲線の正の割合に対して、サイクロトミック Zp-拡大とは交わらない Z/pZ-拡大が存在し、その際に p-主セレマー群が基底拡大で自明のままである。
• シャファレヴィッチ＝タイト群は Z/pZ-拡大において任意に大きく増大する：任意の n に対して、ランク_p X(E/L)[p] ≥ n を満たす巡回的 p 次拡大 L/Q が存在する。
• 敵素数（セレマー群が増大する素数）の割合は、p / [2(p+1)(p−1)²] 以上に下から抑えられており、p < 50 に対して数値的に検証されている。
• 仮定 Hyp ind の下では、素数 q における還元型は楕円曲線のランクとは独立しており、セレマー群の挙動を家族全体で統計的に制御可能となる。