[論文レビュー] Rational Homotopy Calculus of Functors

Ben Walter|ArXiv.org|Mar 14, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、微分形式代数および微分形式コールゲブラの圏における rational homotopy calculus of functors を、ホモトピー上の押し出しと引き込みの明示的で計算に簡単なモデルを用いて構成する。同論文は、有理数スペクトルを経由する均一層を有する rational Taylor tower を確立し、DGL、DGC、DG 圈間の安定化関手がこれらのモデルから自然に誘導されることを示し、有理数 Taylor tower の有効な計算を可能にする。

ABSTRACT

This is a (slightly edited) version of the PhD dissertation of the author, submitted to Brown University in July 2005. We construct a homotopy calculus of functors in the sense of Goodwillie for the categories of rational homotopy theory. More precisely, given a homotopy functor between any of the categories of differential graded vector spaces (DG), reduced differential graded vector spaces, differential graded Lie algebras (DGL), and differential graded coalgebras (DGC), we show that there is an associated approximating "rational Taylor tower" of excisive functors. The fibers in this tower are homogeneous functors which factor as homogeneous endomorphisms of the category of differential graded vector spaces. Furthermore, we develop very straightforward and simple models for all of the objects in this tower. Constructing these models entails first building very simple models for homotopy pushouts and pullbacks in the categories DG, DGL, and DGC. We end with a short example of the usefulness of our computationally simple models for rational Taylor towers, as well as a preview of some further results dealing with the structure of rational (and non-rational) Taylor towers.

研究の動機と目的

• 有理数ホモトピー理論の文脈において、計算に実用的なホモトピー関手の計算を構築すること。
• DG、DGL、DGC 圈におけるホモトピー押し出しと引き込みの明示的で単純なモデルを構築すること。
• DGL、DGC、DG 圈の安定化が自然に有理数スペクトル圏に至ることを示し、共通の有理数スペクトル枠組みを提供すること。
• これらのモデルが、ホモトピー関手の有理数 Taylor tower の計算を簡略化することを示すこと。
• 非有理数および位相的状況への有理数的計算の拡張のための基盤的ツールを構築すること。

提案手法

• 有理数ホモトピー圏におけるホモトピー関手の excisive 近似を用いて有理数 Taylor tower を構築する。
• DG、DGL、DGC 圈におけるホモトピー押し出しと引き込みの非常に単純なモデルを用いて明示的な近似を構築する。
• DGL、DGC、DG 間の安定化関手 Σ∞ と Ω∞ を定義するが、それらは標準的ではないがモデルから自然に生じる。
• Taylor tower のファイバーが有理数スペクトル圏を経由する均一関手であることを示す。
• DG 圈が DGL および DGC の両方の安定化と同値であることを確立し、有理数スペクトルの統一的枠組みを可能にする。
• 立方体モデルと全ホモトピーファイバーを用いて、初期関手をその均一層と構造写像から再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計算に簡単なモデルを用いて、有理数ホモトピー理論における関手のホモトピー計算をどのように効果的に構築できるか？
• RQ2 DGL および DGC 圈の安定化と有理数スペクトル圏との正確な関係は何か？
• RQ3 DGL および DGC 圈におけるホモトピー押し出しと引き込みのモデルから、自然に生じる安定化および無限ループ関手はどのようにして導かれるか？
• RQ4 対称群作用を伴うスペクトルを用いて、有理数 Taylor tower の均一層を明示的に記述できるか？
• RQ5 ジェット構成における構造写像とノルムホモトピーは、スペクトルへの n- excisive 関手をどのように分類するか？

主な発見

• この論文は、DG、DGL、DGC 圈間のホモトピー関手に対して、ホモトピー極限と余極限の明示的で単純なモデルを用いて有理数 Taylor tower を構築する。
• DG、DGL、DGC 圈におけるホモトピー押し出しと引き込みは、自然にスuspension および loop 関手を誘導するようにモデル化されており、これにより有理数スペクトルへの安定化関手が得られる。
• 有理数スペクトル圏が DGL および DGC の両方の安定化と同値であることが示され、有理数ホモトピー理論の統一的枠組みを提供する。
• Taylor tower のファイバーは、有理数スペクトル圏を経由する均一関手であり、構造写像はスペクトル間の等変写像で与えられる。
• ジェットを用いてスペクトルへの n-excisive 関手の分類が得られ、係数はスペクトルで、構造写像は一貫したノルムホモトピー系を満たす。
• 立方体モデルの全ホモトピーファイバーは、弱同値の意味で元の関手を再構成でき、有理数 Taylor tower の計算ツールを提供する。