[論文レビュー] Rational normal forms and stability of small solutions to nonlinear Schr\\"odinger equations

Joackim Berniér, Erwan Faou+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 31被引用数 35

ひとこと要約

本稿では、トーラス上での非線形シュレーディンガー方程式の小さな解の安定性を保証するため、有理関数に基づく新しい正準形技法「有理正準形」を導入する。ハミルトニアンを小さな剰余項を除いて可積分形に変換することで、一般の初期データ（サイズ $ε$）に対して、任意に大きな $M$ に対して $ε^{-M}$ 時間の間、ソボレフノルムの長時間安定性を証明した。また、初期データの小さな摂動に対してもこの安定性がロバストであることを示した。

ABSTRACT

We consider general classes of nonlinear Schr\\"odinger equations on the circle with nontrivial cubic part and without external parameters. We construct a new type of normal forms, namely rational normal forms, on open sets surrounding the origin in high Sobolev regularity. With this new tool we prove that, given a large constant $M$ and a sufficiently small parameter $\\varepsilon$, for generic initial data of size $\\varepsilon$, the flow is conjugated to an integrable flow up to an arbitrary small remainder of order $\\varepsilon^{M+1}$. This implies that for such initial data $u(0)$ we control the Sobolev norm of the solution $u(t)$ for time of order $\\varepsilon^{-M}$. Furthermore this property is locally stable: if $v(0)$ is sufficiently close to $u(0)$ (of order $\\varepsilon^{3/2}$) then the solution $v(t)$ is also controled for time of order $\\varepsilon^{-M}$.

研究の動機と目的

• 完全共振する非線形シュレーディンガー方程式における高階ソボレフノルムの不安定性に対処する。標準的なバーリョフ正準形は強い共振のため失敗する。
• 外部パrameterを必要とせず、完全共振状態を扱える新しいタイプの正準形「有理正準形」を構築する。
• 高正則性空間における一般の小さな初期データに対して、ソボレフノルムの長時間安定性を確立する。
• 安定性の性質が局所的にロバストであることを証明する：近傍の初期データに対しても同様の長時間制御が可能である。
• 正準形技法の適用範囲を、摂動的でない完全共振ハミルトニアンPDE（例：円周上での立方非線形NLS）にまで拡張する。

提案手法

• 作用角変数の有理関数を用いて、非共鳴項を吸収しつつ可積分性を保つ新しいクラスの有理ハミルトニアンを開発する。
• 逐次的な正則変換の列を用いて、高次項（五次以上）を反復的に消去することで、有理正準形を構築する。
• 有理正準形の構造に適合した、周波数スペクトルにおける小さな分母に基づく非共鳴条件を用いる。
• 確率的推定を用いて、非共鳴条件を満たす初期データの集合が、原点近傍で全測度を有することを示す。
• 構造的補題を用いてベクトル場を制御し、同調方程式を解き、有理関数クラス内でのヤコビ束の閉包性を保証する。
• 剰余項が $ε^{M+1}$ 階に比例するように変更されたバーリョフ正準形フレームワークを導入し、長時間制御を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全共振するハミルトニアンPDE（例：円周上での立方非線形NLS）に対して、標準的なバーリョフ正準形が失敗する状況でも、正準形技法を構築することは可能か？
• RQ2 外部パrameterが存在しない状況で、小さな初期データに対するソボレフノルムの長時間安定性を達成することは可能か？
• RQ3 初期データの小さな摂動に対しても、解の流れの安定性が保たれるか？
• RQ4 非線形PDEにおける強い共鳴を効果的に扱うために、有理関数をどのようにして正準形に組み込むことができるか？
• RQ5 このような長時間安定性が成り立つ初期データの集合の測度論的サイズはどの程度か？

主な発見

• 任意の大きな $M$ に対して、十分に小さな $ε$ に対して、サイズ $ε$ の一般の初期データは、$ε^{-M}$ 時間の間、ソボレフノルムが $2ε$ 以下に保たれる解を与える。
• 流れは剰余項が $ε^{M+1}$ 階に比例するまで、可積分流れに共役されているため、効果的な長時間制御が可能である。
• 安定性結果は局所的にロバストである：$v(0)$ が安定な初期データ $u(0)$ から $Δ(\u03b5^{3/2})$ の範囲内にあるならば、$v(t)$ は同じ時間スケールで制御される。
• 有理正準形の構築は、高ソボレフ正則性における開集合で有効であり、一般の小さな解の解析を可能にする。
• 本手法は、非自明な立方項を有する一般の非線形シュレーディンガー方程式に適用可能で、外部パrameterを必要としない。
• 確率的推定により、非共鳴条件を満たす初期データの集合が、原点近傍で全測度を有することが確認された。