[論文レビュー] Real spectral triples on 3-dimensional noncommutative lens spaces

Andrzej Sitarz, Jan Jitse Venselaar|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、3次元非可換レンズ空間 $L_q(p,r)$ における不変的でない実スペクトル三重項を $SU_q(2)$ 上の自由作用の商空間として構成・分類し、$r$ が $p$ と互いに素であるとき $C^*$-代数 $L_q(p,r)$ と $L_q(p,1)$ が同型であることを示し、基底上のディラックスペクトルを明示的に計算することで、すべてのこのようなレンズ空間が量子テアドロップ上へのセイフェルトファイブレーションであることを示している。

ABSTRACT

We study almost real spectral triples on quantum lens spaces, as orbit spaces of free actions of cyclic groups on the spectral geometry on the quantum group $SU_q(2)$. These spectral triples are given by weakening some of the conditions of a real spectral triple. We classify the irreducible almost real spectral triples on quantum lens spaces and we study unitary equivalences of such quantum lens spaces. We show that if $r$ is coprime to $p$, the $C^*$-algebras corresponding to the quantum lens spaces $L_q(p,r)$ and $L_q(p,1)$ are isomorphic. Also, we show that all such quantum lens spaces are Seifert fibrations over quantum teardrops, and calculate the Dirac spectrum on the base space coming from this fibration.

研究の動機と目的

• 非可換レンズ空間におけるスペクトル幾何をほぼ実スペクトル三重項を用いて拡張すること。
• 量子レンズ空間 $L_q(p,r)$ における不可約なほぼ実スペクトル三重項を分類すること。
• 異なる量子レンズ空間間のユニタリ同値性と $C^*$-代数の同型を調査すること。
• 量子レンズ空間が量子テアドロップ上へのセイフェルトファイブレーションであることを確立すること。
• ファイブレーション構造から生じる基底量子テアドロップ空間上のディラックスペクトルを計算すること。

提案手法

• $SU_q(2)$ 上の巡回群による自由作用の商空間として、量子レンズ空間上にほぼ実スペクトル三重項を構成する。
• 実スペクトル三重項の公理を弱めて、より広いクラスの幾何的構造を許容する。
• 表現論と群作用の不変性を用いて、スペクトル三重項の不可約表現を分類する。
• $C^*$-代数の技法を適用し、$\gcd(r,p) = 1$ のとき $L_q(p,r)$ と $L_q(p,1)$ が同型であることを示す。
• 量子レンズ空間のファイブレーション構造が、量子テアドロップ上へのセイフェルトファイブレーションとしてどのように作用するかを分析する。
• 全空間からのスペクトルデータとファイブレーション構造を用いて、基底量子テアドロップ上のディラックスペクトルを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子レンズ空間 $L_q(p,r)$ と $L_q(p,1)$ の $C^*$-代数がいつ同型になるか。
• RQ2 量子レンズ空間上におけるどのほぼ実スペクトル三重項が不可約であり、どのように分類できるか。
• RQ3 ユニタリ同値性は $L_q(p,r)$ のパrameter $r$ と $p$ とどのように関係するか。
• RQ4 量子レンズ空間は量子テアドロップ上へのセイフェルトファイブレーションとして実現可能か。
• RQ5 ファイブレーション構造から誘導される基底量子テアドロップ空間上のディラックスペクトルは何か。

主な発見

• $r$ が $p$ と互いに素である限り、$L_q(p,r)$ と $L_q(p,1)$ の $C^*$-代数は同型である。
• すべての不可約ほぼ実スペクトル三重項は、群作用の不変量と表現論を用いて分類される。
• 量子レンズ空間 $L_q(p,r)$ は、量子テアドロップ空間上へのセイフェルトファイブレーションである。
• 基底量子テアドロップ上のディラックスペクトルは、ファイブレーション構造から明示的に計算される。
• ファイブレーション構造により、レンズ空間が非可換ファイバー束として幾何的に実現される。
• 実構造条件を弱めたにもかかわらず、重要なスペクトル幾何的性質が保持される。