[論文レビュー] Real topological cyclic homology of spherical group rings

Amalie Høgenhaven|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、G = Gal(ℂ/ℝ) に対して、群の逆元による反自己同型を誘導する球面群環 𝕊[Γ] の実トポロジカル循環ホモロジー（TCR）の G-等変ホモトピー型を計算する。O(2)-等変写像を、Γ における双対的バーバー構成のスuspension スペクトラムから THR(𝕊[Γ]) へ構成し、すべての素数 p と n ≥ 0 に対して C_{p^n}-および D_{p^n}-ホモトピー群に同型を誘導する。p-完備化後の TCR(𝕊[Γ]; p) は、ℤ/2- Tate トレランスの等変ホモトピー核と球面スペクトラムのホイッスル和として計算される。

ABSTRACT

We compute the $G$-equivariant homotopy type of the real topological cyclic homology of spherical group rings with anti-involution induced by taking inverses in the group, where $G$ denotes the group $Gal(\mathbb{C}/\mathbb{R})$. The real topological Hochschild homology of a spherical group ring $\mathbb{S}[Γ]$, with anti-involution as described, is an $O(2)$-cyclotomic spectrum and we construct a map commuting with the cyclotomic structures from the $O(2)$-equivariant suspension spectrum of the dihedral bar construction on $Γ$ to the real topological Hochschild homology of $\mathbb{S}[Γ]$, which induce isomorphisms on $C_{p^n}$- and $D_{p^n}$-homotopy groups for all $n\in \mathbb{Z}$ and all primes $p$. Here $C_{p^n}$ is the cyclic group of order $p^n$ and $D_{p^n}$ is the dihedral group of order $2p^n$. Finally, we compute the $G$-equivariant homotopy type of the real topological cyclic homology of $\mathbb{S}[Γ]$ at a prime $p$.

研究の動機と目的

• 群の逆元による反自己同型を伴う球面群環 𝕊[Γ] の G-等変ホモトピー型である実トポロジカル循環ホモロジー（TCR）の同型型を特定すること。
• Γ における双対的バーバー構成の O(2)-等変スuspension スペクトラムから THR(𝕊[Γ]) への写像を確立し、すべての素数 p および n ≥ 0 に対して C_{p^n} および D_{p^n}-ホモトピー群に同型を誘導すること。
• G-安定ホモトピー圏において、p-完備化された TCR(𝕊[Γ]; p) を、ℤ/2- Tate トレランスの等変ホモトピー核を用いて計算すること。

提案手法

• 環スペクトラム A と反自己同型 D を備えた場合に、Bökstedt のモデルを一般化した O(2)-等変直交スペクトラム THR(A,D) を構成する。
• 根同型 ρ_r と幾何的固定点を用いて、G-作用と整合する THR(𝕊[Γ], inv) におけるサイクロトミック構造を確立する。
• THR(𝕊[Γ], inv) のホモトピー型を制御するため、Bökstedt の近似補題の等変版を適用する。
• 写像空間の連結性推定と等変スuspension 定理を用いて、射影写像 pr_0: holim_i H•(C_{p^i}; 𝕊) → 𝕊 のホモトピー核を分析する。
• 定理 4.4 を用いて、p-完備化後に、射影 pr_0 が G-等変 ℤ/2-Tate トレランス Σ^∞_G Σ^{1,1}ℙ^∞(ℂ) → 𝕊 と同一視されることを示す。
• 三角圏の公理を適用し、G-安定ホモトピー圏内で非標準的同型 TCR(𝕊, id; p) ≃ Σ^{1,1}ℙ^∞_{-1}(ℂ) ∨ 𝕊 を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群の逆元による反自己同型を伴う球面群環に対して、実トポロジカル循環ホモロジー TCR(𝕊[Γ], inv; p) の G-等変ホモトピー型は何か？
• RQ2 Γ における双対的バーバー構成のスuspension スペクトラムから THR(𝕊[Γ], inv) への写像は、すべての素数 p および n ≥ 0 に対して C_{p^n} および D_{p^n}-ホモトピー群に同型を誘導するか？
• RQ3 p-完備化された TCR(𝕊, id; p) は、ℤ/2-Tate トレランス写像の等変ホモトピー核とどのように関係するか？

主な発見

• Γ における双対的バーバー構成の O(2)-等変スuspension スペクトラムから THR(𝕊[Γ], inv) への写像は、すべての素数 p およびすべての n ≥ 0 に対して C_{p^n}-および D_{p^n}-ホモトピー群に同型を誘導する。
• p-完備化後に、実トポロジカル循環ホモロジー TCR(𝕊, id; p) は、G-等変 ℤ/2-Tate トレランスのホモトピー核と球面スペクトラムのホイッスル和と同型である。
• 射影 pr_0: holim_i H•(C_{p^i}; 𝕊) → 𝕊 は、p-完備化後に G-等変 ℤ/2-Tate トレランス Σ^∞_G Σ^{1,1}ℙ^∞(ℂ) → 𝕊 と同一視される。
• holim_i H•(C_{p^i}; 𝕊)、𝕊、および Ω𝕊 ∨ 𝕊 を含む区別三角形から、G-安定ホモトピー圏内で非標準的同型 TCR(𝕊, id; p) ≃ Σ^{1,1}ℙ^∞_{-1}(ℂ) ∨ 𝕊 が導かれる。
• この計算は、G-等変性と双対的構造を実代数的 K-理論フレームワークを用いて組み込んだ古典的 TCR(𝕊; p) の計算を一般化する。