[論文レビュー] Recovering piecewise constant refractive indices by a single far-field pattern

Emilia Blåsten, Hongyu Liu|arXiv (Cornell University)|May 2, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、音響散乱において、1つの遠方場パターンからの、区分的定数屈折率を回復するための最初の一意性結果を確立する。コーナー散乱と一意的拡張原理を活用することで、多面体的サポートの頂点における屈折率の値が一意に決定されることを証明し、幾何が既知の場合（例えば、多面体ネスト構造やピクセル/ボクセルグリッド）に完全な回復が可能となる。

ABSTRACT

We are concerned with the inverse scattering problem of recovering an inhomogeneous medium by the associated acoustic wave measurement. We prove that under certain assumptions, a single far-field pattern determines the values of a perturbation to the refractive index on the corners of its support. These assumptions are satisfied for example in the low acoustic frequency regime. As a consequence if the perturbation is piecewise constant with either a polyhedral nest geometry or a known polyhedral cell geometry, such as a pixel or voxel array, we establish the injectivity of the perturbation to far-field map given a fixed incident wave. This is the first unique determinancy result of its type in the literature, and all of the existing results essentially make use of infinitely many measurements.

研究の動機と目的

• 最小限の測定データ（具体的には1つの遠方場パターン）から不均一媒質を回復する逆散乱問題に取り組む。
• サポートが多面体的幾何構造、または既知のグリッド（例：ピクセル/ボクセルアレイ）である場合、区分的定数屈折率の回復における一意性を確立する。
• 従来の結果が無限個の遠方場パターンを必要としていた制限を克服し、1つの測定値で単射性を証明する。
• 特定の条件下で、サポートのコーナーにおける屈折率の値が1つの遠方場パターンによって一意に決定されることを示す。

提案手法

• 2次元および3次元の $ \bbR^n $ における音響波の散乱をモデル化するため、摂動を加えた屈折率 $ V $ を持つヘルムホルツ方程式を用いる。
• 遠方場パターン $ A_{u^i} $ を定義するため、ソーマーフェルトの放射条件を適用する。これは逆散乱において測定可能な量である。
• 一意的拡張とレリッヒの定理を用いて、全波場 $ u $ と $ u' $ が摂動のサポートの外部で一致することを示す。
• ホルムグレンの一意性定理を用いて、定義域の連結成分を越えて波の一致を伝播させる。
• 多面体的サポートの頂点における波場の振るまいを分析し、コーナーで波の値が非ゼロであれば、屈折率の値が等しいことを示す。
• ネスト構造またはセルベースの多面体幾何における帰納的議論を用いて、すべての成分にわたる屈折率の値が段階的に等しいことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限個の遠方場パターンではなく、1つの遠方場パターンからでも屈折率を一意に回復できるか？
• RQ2 屈折率のサポートにどのような幾何的仮定を置くことで、最小限のデータで一意な回復が可能になるか？
• RQ3 サポートのコーナーにおける屈折率の値が、完全な再構成に十分な情報を保持しているか？
• RQ4 1つの入射波とその遠方場パターンのみを用いて、多面体的またはグリッド状構造の区分的定数屈折率を回復できるか？
• RQ5 コーナー散乱と頂点における波の振るまいが、逆問題の一意性にどのように寄与するか？

主な発見

• 適切な仮定の下で、サポートの頂点における屈折率の値は1つの遠方場パターンによって一意に決定される。
• 多面体ネスト構造または既知の多面体セル幾何（例：ピクセル/ボクセル）を持つ区分的定数屈折率に対して、摂動から遠方場への写像は1つの入射波で単射である。
• 低周波数領域でも成り立ち、連結補集合を持つ一般の多面体的サポートへと拡張可能である。
• 証明は、一意的拡張、レリッヒの定理、およびホルムグレンの一意性定理を用いて、領域を越えて波の一致を伝播させる。
• ネスト構造またはセルベースの多面体構造の各層について帰納的議論を用いて、各段階での屈折率の値が等しいことを示し、単射性を確立する。
• これは、従来の無限個の測定に依存する枠組みを打ち破り、1つの遠方場パターンでの単射性を達成する初の文献上の結果である。