[論文レビュー] Reduction of manifolds with semi-negative holomorphic sectional curvature

Gordon Heier, Steven Lu+2 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、半負の正則的全曲率をもつケーラー多様体の接空間における線形独立な真正に平坦な方向の数を測る、新しい微分幾何的不変量 '真正に平坦なランク' $ r^{-}_{\text{tf}} $ を導入する。$ \operatorname{kod}(M) \leq \nu(M) \leq r^{-}_{\text{tf}} \leq n(M) $ を確立し、数値的不変量の境界と、追加の条件下での分解定理を示している。

ABSTRACT

In this note, we continue the investigation of a projective Kähler manifold $M$ of semi-negative holomorphic sectional curvature $H$. We introduce a new differential geometric numerical rank invariant which measures the number of linearly independent {\it truly flat} directions of $H$ in the tangent spaces. We prove that this invariant is bounded above by the nef dimension and bounded below by the numerical Kodaira dimension of $M$. We also prove a splitting theorem for $M$ in terms of the nef dimension and, under some additional hypotheses, in terms of the new rank invariant.

研究の動機と目的

• ケーラー多様体の接空間における真正に平坦な方向の数を測る新しい微分幾何的不変量 $ r^{-}_{\text{tf}} $ を定義し、その性質を調べること。
• $ r^{-}_{\text{tf}} $ がネフ次元によって上から抑えられ、数値的コーディア次元によって下から抑えられることを確立すること。
• 追加の仮定のもとで、ネフ次元および $ r^{-}_{\text{tf}} $ に関して、このような多様体の分解定理を証明すること。
• この不変量がアバンドン予想およびケーラー・リッチフローの変形理論に与える影響を調査すること。
• $ H \leq 0 $ をみたす射影的ケーラー多様体の族を、ファイブレーション幾何の新たなテストケースとして分析すること。

提案手法

• 正則的全曲率が恒等的に零となる接ベクトルの部分空間の最大次元として $ r^{-}_{\text{tf}} $ を定義する。
• 部分束の曲率減少性を用いて、アーベル多様体上の平坦計量をシータ除集合に制限することで、半負の曲率が得られることを示す。
• 接続公式を適用し、そのような部分多様体の標準束が負であることを示し、これによりネフ次元が最大になることを示す。
• リッチ曲率テンソルおよびその外積を用いて、$ \xi^{k+1} = 0 $ を導出する。ここで $ \xi $ はリッチ (1,1)-形式で、$ k = r^{-}_{\text{tf}} $ である。これにより $ c_1(M)^{k+1} = 0 $ が得られる。
• [WZ03] および [Liu14] の結果を活用し、真正に平坦なベクトルがリッチ形式の核に属することを特徴づける。
• ねじれ点による分岐被覆と基底変換を用いて、正則なファイブレーションを構成し、非同型なファイバーの仮定のもとで分解定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラー多様体の接空間における真正に平坦な方向の数を測る新しい微分幾何的不変量を定義することは可能か？
• RQ2 新しい不変量 $ r^{-}_{\text{tf}} $ はネフ次元によって上から抑えられ、数値的コーディア次元によって下から抑えられるか？
• RQ3 追加の幾何的仮定のもとで、$ r^{-}_{\text{tf}} $ の値から、このような多様体に分解構造が存在するか？
• RQ4 $ H \leq 0 $ をみたす射影的ケーラー多様体の族は、アバンドン予想のテストケースとして適切か？
• RQ5 $ c_1 < 0 $ の場合を超えて、$ r^{-}_{\text{tf}} $ はケーラー・リッチフローの変形理論にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 新しい不変量 $ r^{-}_{\text{tf}} $ は $ \operatorname{kod}(M) \leq \nu(M) \leq r^{-}_{\text{tf}} \leq n(M) $ を満たし、数値的境界の鎖を確立している。
• 次元 $ n+1 $ の一般な主偏極付きアーベル多様体のシータ除集合 $ M $ に対して、$ r^{-}_{\text{tf}} = \lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor $ であり、これは $ n(M) = n $ よりも厳密に小さい。
• リッチ曲率形式 $ \xi $ は $ \xi^{k+1} = 0 $ を満たし、ここで $ k = r^{-}_{\text{tf}} $ である。これにより $ c_1(M)^{k+1} = 0 $ が得られ、数値的コーディア次元が抑えられる。
• 正則な部分被覆 $ f: M \to B $ のすべてのファイバーが非同型なアーベル多様体であり、$ B $ が一般型のとき、$ M $ は $ H \leq 0 $ をみたすケーラー計量をもつことはない。
• 証明は、このような計量がすべてのファイバーが正則的に等長であることを強制し、非同型性の仮定に反することを示している。
• $ H \leq 0 $ をみたす $ n $ 次元の射影的多様体の族 $ \mathcal{H}^{0-}_n $ は、微分幾何的道具が存在するため、アバンドン予想のテストケースとして自然な候補である。