[論文レビュー] Regular Polynomial Endomorphisms of C^k

Eric Bedford, Mattias Jönsson|ArXiv.org|May 18, 1998

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、k ≥ 2 における C^k 上の正則多項式自己準同型の力学的挙動を調査する。特に、射影空間 P^k に連続的に拡張可能な、次数が 2 以上の写像に注目する。無限遠点付近での挙動を分析し、外部線を用いることで、均衡電流上の力学とリーマン球面上の単純な系との間の準同型写像を確立する。これにより、有界軌道を持つ点の集合 K と、準バランス測度の構造が詳細に記述される。

ABSTRACT

We study the dynamics of polynomial mappings f:C^k to C^k of degree at least 2 that extend continuously to projective space P^k. Our approach is to study the dynamics near the hyperplane at infinity and then making a descent to K --- the set of points with bounded orbits --- via external rays.

研究の動機と目的

• C^k 上で P^k に連続的に拡張可能な多項式自己準同型のグローバルな力学的挙動を理解すること。
• これらの写像が無限遠点超平面付近で示す挙動を分析すること。これは、グローバルな力学的挙動を理解する上で重要な領域である。
• 外部線を用いて、均衡電流上の力学とリーマン球面上の単純な系との間の準同型写像を構成すること。
• 無限遠点付近の力学と線構造を用いて、有界軌道を持つ点の集合 K を記述すること。
• 均衡電流に関連する準バランス測度の存在と性質を確立すること。

提案手法

• C^k の自然なコンパクト化 P^k を用いて、無限遠点付近の力学的挙動を研究すること。
• 外部線（複素力学における等ポテンシャル曲線および線の一般化版）を応用し、無限遠点付近の力学と集合 K の内部を結ぶこと。
• 均衡電流の台からリーマン球面への準同型写像を構成し、無限遠点付近の力学的挙動を活用すること。
• リーマン球面上の標準測度の引き戻しを分析し、K 上の準バランス測度を導出すること。
• 複素多重ポテンシャル論および力学的次数に関連する均衡電流を用いて、不変測度を記述すること。
• グリーン関数とその等高線を用いて、吸引域の構造と集合 K の構造を理解すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C^k 上の次数 ≥2 の多項式自己準同型が P^k に拡張されたとき、特に無限遠点超平面付近でどのように挙動するか。
• RQ2 外部線は、無限遠点付近の力学と有界軌道を持つ点の集合 K をどのように結ぶか。
• RQ3 均衡電流上の力学とリーマン球面上の単純な系との間に、準同型写像を構成できるか。
• RQ4 集合 K 上の準バランス測度の構造は何か。また、均衡電流とどのように関係しているか。
• RQ5 測度の引き戻しを介して、集合 K 上の力学と無限遠点付近の力学はどのように関連しているか。

主な発見

• 均衡電流の台上の力学は、外部線から構成された写像を介して、リーマン球面上の力学と準同型である。
• 有界軌道を持つ点の集合 K 上の準バランス測度は、準同型写像によるリーマン球面上の標準測度の引き戻しとして得られる。
• 集合 K は、関連する有理写像が P^1 上で定義するジュリア集合の準同型写像による逆像として特徴付けられる。
• 自己準同型に付随するグリーン関数の等高線は、外部線によってファイブレーションされ、1 変数複素力学における古典的線図を一般化する。
• 均衡電流は自己準同型に関して不変であり、その台は周期点の集合の閉包に含まれる。
• 集合 K 上の力学は、リーマン球面を基にしたスケイプロダクト系と位相的に同型であり、ファイバーは線に対応する。