[論文レビュー] Regularization of binomial differential equations with singular coefficients

Andrii Goriunov, Vladimir Mikhailets|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、q が L¹ 関数 Q の分布的微分であるとき、特異係数を有する m 階二項微分方程式の正則化を準微分を用いて行い、m ≥ 3 に対して、最小作用素の自己共役、最大散乱的、最大蓄積的拡張の完全な一対一かつ連続的パラメータ表示を、ℂ^m 内の収縮を用いて与える。m=2 の既存結果を m≥3 に拡張する。

ABSTRACT

We propose a regularization of the formal differential expression of order $m \geqslant 3$ $$ l(y) = i^my^{(m)}(t) + q(t)y(t), \,t \in (a, b), $$ applying quasi-derivatives. The distribution coefficient $q$ is supposed to have an antiderivative $Q \in L([a,b];\mathbb{C})$. For the symmetric case ($Q = \bar{Q}$) self-adjoint and maximal dissipative extensions of the minimal operator and its generalized resolvents are described. The resolvent approximation with resrect to the norm of the considered operators is also investigated. The case $m = 2$ for $Q \in L_2([a, b];\mathbb{C})$ was investigated earlier.

研究の動機と目的

• 特異係数を有する高階二項微分方程式への特異スターミューリウヴィル作用素の理論の拡張。
• q が L¹ に属さないが q=Q′ かつ Q∈L¹ である m≥3 の場合、体系的な正則化フレームワークの欠如に対処する。
• 対称の場合における最小作用素のすべての自己共役、最大散乱的、最大蓄積的拡張の記述。
• ℂ^m 内の作用素的収縮を用いた一般化されたリゾルベントの完全で一対一かつ連続的なパラメータ表示の提供。
• 適切な条件下で、最小作用素の拡張に対する一様リゾルベント近似の確立。

提案手法

• q=Q′, Q∈L¹([a,b];ℂ) であるとき、正則化のための準微分 D^{[k]}y を導入し、形式的微分式 l(y) = i^m y^{(m)}(t) + q(t)y(t) を扱う。
• 関数 y が k=0,…,m−1 に対して D^{[k]}y が絶対連続で、かつ D^{[m]}y∈L₂ であるような関数に対して、準微分式 l[y] = i^m D^{[m]}y の閉包として最大作用素 L_max を定義する。
• L_max を両端点における準微分の意味で 0 に等しい関数に制限することで最小作用素 L_min を定義する。
• リゾルベント方程式 l[y]−λy=f を w(t) = (D^{[0]}y,…,D^{[m−1]}y) に関する一階系として構成し、係数行列 A_λ(t)∈L¹ および強制項 φ(t)∈L¹ を得る。
• 境界三重対および特性 Weyl-Titchmarsh 関数の理論を用いて、ℂ^m 内の作用素的収縮 K(λ) を用いた一般化されたリゾルベントのパラメータ表示を確立する。
• 一般化されたリゾルベントと境界値問題 K(λ) 間に、一対一かつ連続な対応関係を確立し、K(λ) が上半平面または下半平面で正則でかつ ||K(λ)||≤1 を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m≥3 に対して、Q∈L¹ であるが q=Q′ である特異係数を有する m 階二項微分方程式を、どのように正則化して一貫性のある作用素理論を定義できるか？
• RQ2 対称の場合（Q=Q̄）における最小作用素の自己共役、最大散乱的、最大蓄積的拡張は何か？
• RQ3 複素平面上における最小作用素のすべての一般化されたリゾルベントはどのようにパラメータ表示できるか？
• RQ4 最小作用素の拡張に対する一様リゾルベント近似が、どのような条件下で成り立つか？
• RQ5 準微分構成が、特異係数に対して境界三重対のアプローチを可能にする役割は何か？

主な発見

• 最小作用素 L_min が対称であるための必要十分条件は、Q が実数値であること（Q=Q̄）であり、これにより自己共役および散乱的拡張の存在が保証される。
• すべての自己共役、最大散乱的、最大蓄積的拡張は、それぞれ ℂ^m 内のユニタリ作用素および収縮を用いた一対一かつ連続的なパラメータ表示で与えられる。
• 一般化されたリゾルベントは、上半平面または下半平面で正則で ||K(λ)||≤1 を満たす作用素関数 K(λ) を含む境界値問題によって完全に記述される。
• 上半平面における λ に対して、一般化されたリゾルベントは、l(y)=λy+h および境界条件 (K(λ)−I)Γ_{[1]}f + i(K(λ)+I)Γ_{[2]}f=0 を満たす解として与えられ、下半平面に対しても同様である。
• 近似列 Q_n→Q が L¹ で収束する適切な条件下で、リゾルベント近似は一様収束する。
• 準微分による正則化により、係数 Q の摂動に対しても作用素理論が安定し、境界三重対の構造が保たれる。