[論文レビュー] Relative critical exponents, non-vanishing and metrics with minimal singularities

Mihai Păun|ArXiv.org|Jul 19, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 24被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、閉じた正の-current と最小特異性を持つ計量の相対臨界指数を用いて、射影多様体上の随伴バンドルの非消滅定理を確立する。Y.-T. Siuの canonical ring の有限生成に関する解析的技法を応用することで、Kähler current に対する擬効性および可積分性条件の下で、随伴類 $ c_1(K_X) + \theta_L $ が有効な $\mathbb{R}$-除集合を含むことを証明し、双有理幾何における古典的な非消滅結果を一般化する。

ABSTRACT

In this article we prove a non-vanishing statement, as well as several properties of metrics with minimal singularities of adjoint bundles. Our arguments involve many ideas from Y.-T. Siu's analytic proof of the finite generation of the canonical ring. An important technical tool is the notion of relative critical exponent of two closed positive currents with respect to a measure.

研究の動機と目的

• 射影多様体上の随伴線束に対して、擬効性および可積分性条件の下で非消滅結果を確立すること。
• Siuの技法を用いて、ShokurovおよびKawamataの古典的非消滅定理を解析的設定に一般化すること。
• 特異測度に関して2つの閉じた正のcurrent の相対臨界指数の概念を導入し、その性質を研究すること。
• 解析的および複素多重調和解析的道具を用いて、随伴バンドル上の最小特異性を持つ計量を特徴づけること。
• 最小モデルプログラムに依存せず、$\mathrm{Char}\,p$-フリーな解析的技法を用いること。

提案手法

• 潜在関数の差の指数関数の $ L^1 $-可積分性を用いて定義される、対数正則臨界指数の一般化としての相対臨界指数 $ C_{\Theta_1,\psi}(X,\Theta_2) $ を導入する。
• 摂動技法と吹き上げを用いて、厳密変換の臨界指数が1より大きい設定に問題を還元する。
• 倍加理想層とLelong数を用いて、解析的設定に適応されたShokurovの非消滅定理のバージョンを適用する。
• Hartogsの原則を用いて、厳密変換から全空間へのセクションの延長を行い、随伴類内に有効な除集合の存在を保証する。
• 除集合類の凸結合と引き戻しを用いて、Lelong数が制御された $ c_1(K_X + L) $ 内のcurrent $ \Theta $ を構成する。
• Skodaの定理とLelong数の有理化を用いて、最小計量が有理的でない場合に矛盾を導き出し、有効性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 随伴類 $ c_1(K_X) + \theta_L $ が有効な $\mathbb{R}$-除集合を含むための条件は何か？
• RQ2 2つの閉じた正のcurrent の相対臨界指数は、可積分性および非消滅性をどのように制御できるか？
• RQ3 最小モデルプログラムや $\mathrm{Char}\,p$ 技法を用いずに非消滅結果を証明できるか？
• RQ4 最小特異性を持つ計量は、随伴バンドルの解析的非消滅性において果たす役割は何か？
• RQ5 可積分性条件 $ e^{(1+\varepsilon_0)(\varphi_{K_X+L} - \varphi_L)} \in L^1(U_\alpha) $ はどの程度弱められるか？

主な発見

• $ c_1(K_X) + \theta_L $ が擬効的であり、かつ $ \Theta_L $ が $ e^{(1+\varepsilon_0)(\varphi_{K_X+L} - \varphi_L)} \in L^1(U_\alpha) $ を満たす $ \varepsilon_0 > 0 $ が存在するKähler current である限り、随伴類 $ c_1(K_X) + \theta_L $ は有効な $\mathbb{R}$-除集合を含む。
• 証明は最小モデルプログラムに依存せず、Siuの canonical ring の有限生成に関する解析的技法にインspiredされた技法を用いる。
• 随伴バンドル上の最小特異性を持つ計量は、相対臨界指数および潜在関数の可積分性条件を用いて特徴づけられる。
• 近似バンドル $ |K_{\widehat{X}} + S + \widehat{L}_\eta| $ に非ゼロのセクションが存在することは、引き戻し類内に有効な $\mathbb{R}$-除集合の存在を示唆する。
• 最小計量のLelong数が無理数であると仮定すると矛盾が生じるため、最小計量は有理的セクションから生じ、したがって有効性が証明される。
• 最終的なcurrent $ \Theta \in c_1(K_X + L) $ は、引き戻しと凸結合を用いて構成され、特異的除集合に沿ってLelong数が制御されている。