[論文レビュー] (Relative) dynamical degrees of rational maps over an algebraic closed field

Tuyen Trung Truong|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、特番0の代数閉体上での有理写像の動的次数を、Chowの移動補題と錐の次数公式を用いて、コhomology上への引き戻しの次数増加に基づき、完全に代数的な定義を確立する。対応する主要な性質として対数凹性と相対的動的次数の積公式を証明し、複素力学系からの結果を任意の特番0の代数閉体上での代数幾何学へと拡張する。特異点の解消が存在する場合、正の特番の体上での曲面および3次元多様体への応用が可能である。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to define dynamical degrees for rational maps over an algebraic closed field of characteristic zero and prove some basic properties (such as log-concavity) and give some applications. We also define relative dynamical degrees and prove a "product formula" for dynamical degrees of semi-conjugate rational maps in the algebraic setting. The main tools are the Chow's moving lemma and a formula for the degree of the cone over a subvariety of $\mathbb{P}^N$. The proofs of these results are valid as long as resolution of singularities are available (or more generally if appropriate birational models of the maps under consideration are available). This observation is applied for the cases of surfaces and threefolds over a field of positive characteristic.

研究の動機と目的

• 代数幾何学的道具を用いて、特番0の代数閉体上での有理写像の動的次数を完全に代数的に定義すること。
• 対数凹性や動的次数の被約不変性といった基本的性質を証明すること。
• 相対的動的次数への理論の拡張と、半同型写像に対しての積公式の確立。
• 特異点の解消が可能である限り、結果を正の特番の体上での曲面および3次元多様体へと一般化すること。
• 複素力学系に類似したが、任意の代数閉体上で通用する代数的枠組みを動的次数に提供すること。

提案手法

• 繰り返し有理写像によるサイクルの厳密変換の次数を用いて、代数的に動的次数を定義する。
• 不確定性を解消し、部分多様体の交差挙動を制御するためにChowの移動補題を適用する。
• 射影空間内での部分多様体の錐の次数の公式を用いて、次数増加を推定する。
• 適切な被約モデルと線型系を構成し、適切な交差と次数の増加を制御する。
• 特番0を超えて一般化するにあたり、特異点の解消または適切な被約モデルに依存する。
• 次数推定とスペクトル半径の議論により、動的次数を定義する極限の存在を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特番0の代数閉体上での有理写像の動的次数は、複素解析的道具を用いずに、完全に代数的に定義可能であろうか？
• RQ2 対数凹性や被約不変性といった基本的性質は、代数的設定でも成立するであろうか？
• RQ3 複素解析的状況に類似した相対的動的次数の積公式は、代数幾何学的枠組みで確立可能であろうか？
• RQ4 特異点の解消が利用可能である場合、これらの結果はどの程度正の特番へと拡張可能であろうか？
• RQ5 正の特番の体上での曲面および3次元多様体における被約写像の動的次数は、どのように振る舞うであろうか？

主な発見

• $p$-次の動的次数 $\lambda_p(f)$ は、極限 $\lim_{n\to\infty} \left( \deg\left( (f^n)^*(H_X^p) \right) \right)^{1/n}$ として定義され、すべての $0 \leq p \leq \dim(X)$ に対してこの極限が存在する。
• 動的次数は被約不変量であり、被約共役において保存される。
• 動的次数は対数凹性を満たす：$1 \leq p \leq \dim(X)$ に対して $\lambda_p(f)^2 \geq \lambda_{p-1}(f)\lambda_{p+1}(f)$ が成り立つ。
• 実数Néron-Severi群上の任意のノルムに対して、$\lambda_p(f) = \lim_{n\to\infty} \| (f^n)^*|_{N^p_{\mathbb{R}}(X)} \|^{1/n}$ が成り立ち、次数増加と線形作用素のノルムが結びつく。
• 正の特番の体上での曲面の場合、積公式は $\lambda_1(f) = \max\{\lambda_1(g), \lambda_1(f|\pi)\}$ および $\lambda_2(f) = \lambda_1(g)\lambda_1(f|\pi)$ に簡略化され、3次元多様体に対しても同様の結果が得られる。
• 特異点の解消が可能である限り、結果は正の特番の体へと拡張可能であり、特に曲面および3次元多様体に対し、このような体上での代数的力学系への応用が可能となる。