[論文レビュー] Relative Property (T) for the Subequivalence Relations Induced by the Action of SL$_2(\Bbb Z)$ on $\Bbb T^2$

Adrian Ioana|ArXiv.org|Jan 13, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2次元トーラス 𝕋² における SL₂(ℤ) の作用のエルゴディックな部分同値関係について、2通りの分類を与える。すべての such 関係は、超有限または剛性を示す。エルゴディック理論とフォン・ノイマン代数の技法を用いて、著者たちは非超有限な部分同値関係が群作用から起因する剛性を引き継ぐことを証明し、群論的起源のない剛性の最初の例を構成した。これはポーパとガブリオーが提起した長年の未解決問題を解決するものである。

ABSTRACT

Let $\Cal S$ be the equivalence relation induced by the action SL$_2(\Bbb Z)\curvearrowright (\Bbb T^2,λ^2)$, where $λ^2$ denotes the Haar measure on the 2-torus, $\Bbb T^2$. We prove that any ergodic subequivalence relation $\Cal R$ of $\Cal S$ is either hyperfinite or rigid in the sense of S. Popa ([Po06]). The proof uses an ergodic-theoretic criterion for rigidity of countable, ergodic, probability measure preserving equivalence relations. Moreover, we give a purely ergodic-theoretic formulation of rigidity for free, ergodic, probability measure preserving actions of countable groups.

研究の動機と目的

• SL₂(ℤ) が 𝕋² に作用する非超有限なエルゴディックな部分同値関係がすべて剛性を示すかどうかという、長年の未解決問題を解決すること。
• 相対的性質 (T) を持たない群のペアから生じない、剛性同値関係の新しいクラスを確立すること。
• 2次元トーラスにおける SL₂(ℤ) の作用の部分同値関係について、構造的2分類を確立すること。
• 剛性が群論的剛性ではなく、力学的および測度論的性質から生じうることを示すこと。

提案手法

• フォン・ノイマン代数上のヒルベルト双加法的モジュールにおける非ゼロの中心的ベクトルの存在と、同値関係の剛性との間の同値性を用いる。
• 有限フォン・ノイマン代数の包含に関する相対的性質 (T) の概念を、部分同値関係を分析するために適用する。
• 非超有限な部分同値関係が剛性を示さないと仮定し、それが超有限性に導くという背理法を用いて、エルゴディック理論を駆使して証明する。
• オザワらの強エルゴディック性および超有限性に関する結果を活用し、部分同値関係の構造を制約する。
• SL₂(ℤ) が ℝℙ¹ 上のボレル確率測度の空間に作用する様子を用いて、超有限な極限作用を構成する。
• コンネス＝フェルドマン＝ヴァイスの定理を適用し、測度の安定化部分群がアーベル的である場合には超有限性が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SL₂(ℤ) が 𝕋² に作用する非超有限なエルゴディックな部分同値関係は、すべて剛性を示すか？
• RQ2 群のペアにおける相対的性質 (T) とは無関係に、同値関係における剛性が生じうるか？
• RQ3 部分同値関係が超有限でないことは、フォン・ノイマン代数的意味での剛性を示唆するか？
• RQ4 SL₂(ℤ) が 𝕋² に作用するすべてのエルゴディックな部分同値関係について、超有限または剛性の構造的2分類が成り立つか？
• RQ5 剛性は強エルゴディック性を含意するか？そして、これはオザワの結果を再証明するために利用可能か？

主な発見

• SL₂(ℤ) が 𝕋² に作用するすべてのエルゴディックな部分同値関係は、超有限または剛性のいずれかであり、完全な2分類が確立された。
• 相対的性質 (T) を持たない群のペアから生じない剛性同値関係の最初の例が構成された。
• 非超有限な部分同値関係のコストは 1 より大きい。これは非超有限性を示唆する。
• SL₂(ℤ) が ℝℙ¹ 上のボレル確率測度の空間に作用する様子から、超有限な同値関係が誘導される。
• 部分同値関係が超有限でない場合、オザワの結果により強くエルゴディックであることが示され、これは剛性結果と整合的である。
• ℝℙ¹ 上のボレル確率測度の空間における一般の測度の安定化部分群はアーベル的であり、これにより関連する作用の超有限性が導かれる。