[論文レビュー] Relative quantum field theory

Daniel S. Freed, Constantin Teleman|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 14被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、ラグランジアン記述を持たず、リー代数に依存するがリー群に依存する六次元 $(0,2)$-超共形場理論における矛盾を解消する枠組みとして、相対的量子場理論（RQFT）を導入する。このような理論を、より高次元の可逆な異常理論に関して相対的に扱うことで、次元削減により五次元で相対的ゲージ理論が得られ、代数的依存性と群に基づくゲージ理論との間の明らかな矛盾が解消される。

ABSTRACT

We highlight the general notion of a relative quantum field theory, which occurs in several contexts. One is in gauge theory based on a compact Lie algebra, rather than a compact Lie group. This is relevant to the maximal superconformal theory in six dimensions.

研究の動機と目的

• 六次元 $(0,2)$-超共形場理論がリー代数に依存する一方で、五次元で群に基づくゲージ理論に見えるという、表面的な矛盾を解消すること。
• 一つ高い次元における可逆な異常理論に関して定義された相対的量子場理論（RQFT）の概念を形式化すること。
• 六次元理論の次元削減が、元の理論の代数的構造と整合的な相対的ゲージ理論を生じることを示すこと。
• 有限群およびポンツェリャーギン自己双対アーベル群に基づく相対的 $\sigma$-モデルおよび自己双対ゲージ理論を含むRQFTの一般化。
• 多様体上の層的構造および高次圏的構造を用いて、絶対的でない量子場理論を厳密に数学的に枠組み化すること。

提案手法

• 相対的量子場理論 $F$ を、一つ高い次元における拡張された可逆な異常理論 $\alpha$ の量子ヒルベルト空間に値をとる、分割関数およびヒルベルト空間を持つ理論として定義する。
• $\alpha$ が一様次元ヒルベルト空間および非ゼロの分割関数を持つ可逆な理論である、拡張されたトポロジカル場理論の枠組みを用いる。
• 古典的場のファイバー束 $p: \mathcal{F} \to \mathcal{F}''$ を用いてRQFTを構成し、$\mathcal{F}''$ が有限次元（例えば有限群）となるようにすることで、有限な経路積分が可能になる。
• 三つの例にこの形式を適用する：有限群 $\pi$ を用いた相対的 $\sigma$-モデル、核がアーベル群 $\pi$ である有限被覆 $G \to \overline{G}$ を通じた相対的ゲージ理論、および $\pi$ がポンツェリャーギン自己双対である六次元 $(0,2)$-理論。
• トーラス上のフーリエ変換を用いて、Langlands双対群 $G/\pi'$ と $G/\pi^{\perp}$ の双対性を示し、四次元理論における双対性を確認する。
• 古典的場を、局所性、引き戻し、および高次対称性を高次群体で捉える、多様体上の単体的層 $\mathcal{F}: \mathbf{Man}_n^{\text{op}} \to \mathbf{Set}_\Delta$ としてモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 六次元 $(0,2)$-超共形場理論がリー代数に依存し、ラグランジアンを持たないにもかかわらず、五次元に一貫して次元削減できるか。
• RQ2 高次元の異常理論に関して定義された量子場理論の数学的構造は何か。この構造は、ゲージ理論の依存性に関する矛盾をどのように解消するか。
• RQ3 六次元理論の次元削減が、絶対的理論ではなく相対的ゲージ理論を生じる、という意味は何か。
• RQ4 有限群の対称性およびその双対（ポンツェリャーギン双対性を介して）は、相対的量子場理論の構造にどのように現れるか。
• RQ5 高次元におけるチャーラルおよびアンチチャーラル相対理論のテンソル積は、超対称な絶対理論を生成できるか。なぜ六次元ではこれが失敗するのか。

主な発見

• 六次元 $(0,2)$-超共形場理論 $\mathscr{X}$ は、絶対的理論ではなく相対的量子場理論として理解されるべきであり、これによりその代数的依存性と群に基づく還元との間のパズルが解消される。
• $\mathscr{X}$ の五次元への次元削減は、絶対的理論ではなく相対的ゲージ理論を生じ、理論がリー群ではなくリー代数に依存するという性質と整合的である。
• 有限被覆 $G \to \overline{G}$ に基づく相対的ゲージ理論では、還元過程で核 $\pi'$ とその直交補空間 $\pi^{\perp}$ が交換され、式 (5.2) の完全なペアリングに従って、ラングランズ双対性が実現される。
• 六次元理論を $S^1 \times S^1$ にコンパクト化した四次元理論において、トーラス上のフーリエ変換が $G/\pi'$ と $G/\pi^{\perp}$ 間の双対性を実装し、ラングランズ双対構造を確認する。
• 有限群 $\pi$ を用いた相対的 $\sigma$-モデルと、自己双対六次元理論の両方とも、同じ形式主義に依存している： 局所構造と貼り合わせを捉える、多様体上の単体的層としての古典的場。
• 異常を制御する理論 $\alpha$ は可逆的かつトポロジカルであるため、$F$ の分割関数はスカラー倍の不定性を除いて定義され、その不定性は $\alpha$ によって支配される。