[論文レビュー] Remarks on 1-motivic sheaves

Alessandra Bertapelle|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限連結k-群スキームを組み込むことにより、指数的特徴の逆数をとらずに、完全体上の1-モチーフ的シャーブおよび1-モチーフの積分的・特徴のない定義を確立する。この結果、指数的特徴を逆数にしないアーベル圏tM₁を構成する。主な結果は、特性0またはその素体を含む超越的特徴を持つ完全体において、有界導来圏Db(Shv₁^fppf)とDb(tM₁)の同値性であり、ヴェドフスキーのモチーフ的ホモトピー論における先行結果をp-局域化を要せず拡張する。

ABSTRACT

We generalize the construction of the category of 1-motives with torsion ${}^tM_1$ (introduced by Barbieri-Viale, Rosenschon and Saito) as well as the construction of the category of 1-motivic sheaves ${ m Shv}_1$ (defined by Barbieri-Viale and Kahn) to perfect fields $k$ (without inverting the exponential characteristic). For $k$ transcendental over the prime field we extend a result of Barbieri-Viale and Kahn, showing that ${}^tM$ and ${ m Shv}_1$ have equivalent bounded derived categories.

研究の動機と目的

• 指数的特徴を逆数にしないで、任意の特徴を持つ完全体に1-モチーフのカテゴリーtM₁を一般化すること。
• 完全体上での1-モチーフ的シャーブShv₁^fppfの、fppfシャーブ理論的・積分的定義を定義すること。
• 特性0およびその素体を含む超越的特徴を持つ完全体において、1-モチーフ的シャーブと1-モチーフの有界導来圏の同値性を確立すること。
• 1-モチーフ的シャーブが、離散的群スキームからCE対象の拡張への射の核として特徴付けられることを示すこと。

提案手法

• 有効1-モチーフの torsion を、L がCE（Étaleおよび有限連結群スキームの積）に属し、G が半アーベル的であるような複体 [u: L → G] として導入する。
• q.i.（fが全射で、gが同種であり、核が一致する）における有効1-モチーフの torsion の局所化としてtM₁を定義する。
• Shv₁^fppf を、離散的群スキームからCE対象の拡張への射の核であるfppfシャーブのカテゴリーとして構成する。
• [1]の議論を非Étaleな有限群スキームを含めるように拡張することで、任意の完全体においてtM₁がアーベル圏であることを証明する。
• 非捩れ点を持つ半アーベル的多様体の存在を用いて、超越的体における導来同値を構成する。
• 1-モチーフ的シャーブを核としての表示と、Ext²群の消失結果を用いて、Db(Shv₁^fppf) ≅ Db(tM₁)の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数的特徴を逆数にしないで、正の特徴を持つ完全体上でも1-モチーフの torsion のカテゴリーを積分的に定義可能か？
• RQ2 fppfサイト上の1-モチーフ的シャーブのカテゴリーは、完全体上で積分的かつアーベル的か？
• RQ3 素体を含む超越的特徴を持つ体において、1-モチーフ的シャーブと1-モチーフの導来同値は、pの逆数をとらずに成立するか？
• RQ4 1-モチーフ的シャーブは、離散的群スキームからCE対象の拡張への射の核として特徴付けられるか？
• RQ5 非捩れ点を持つ半アーベール的多様体は、正の特徴における導来同値の確立においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 有限連結k-群スキームを次数-1に含めることで、任意の完全体kにおいて1-モチーフの torsion のカテゴリーtM₁はアーベル圏である。
• 1-モチーフ的fppfシャーブのカテゴリーShv₁^fppfはアーベル圏であり、完全体上で積分的定義を提供する。
• 特性0またはその素体を含む超越的特徴を持つ完全体kに対して、Db(Shv₁^fppf) ≅ Db(tM₁)の導来同値が成り立ち、[1]、3.9.2をpを逆数にしないで拡張する。
• 1-モチーフ的シャーブは、F₁が離散的で、F₀がCE対象の半アーベール的多様体による拡張であるようなF = coker(F₁ → F₀)の形で表示可能である。
• 証明は、有限連結Nおよび離散的Lに対してExt²(N, L)の消失と、適切な全射離散群への引き戻しによる2重拡張の自明化に依存する。
• 指数的特徴を逆数にしない限り、有限体には導来同値が拡張できない。その理由は、非捩れ点を持つ半アーベール的多様体が存在しないからである。