[논문 리뷰] Removable singularities for nonlinear subequations

F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 02.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 21인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 $M$-극점 집합—$E = \{\psi = -\infty\}$인 닫힌 집합 $E$로, $E$ 외부에서 $C^\infty$로 정의된 $M$-하모닉 함수 $\psi$에 대해 정의되는 개념을 도입함으로써, 완전 비선형 제2차 하위방정식에 대해 제거 가능한 특이점 정리들을 수립한다. 핵심 결과는 하위방정식 $F$가 $M$-단조성($F + M \subset F$)을 만족할 경우, 국소적으로 $C^\infty$인 $M$-극점 집합 $E$는 $F$-하모닉 함수 중 $E$를 가로질러 유계인 함수들과 $E$를 가로질러 연속인 $F$-조화 함수에 대해 제거 가능하다는 것이다. 이는 몽주-아프레 방정식과 기하학적 하위방정식에 대해 알려진 결과들을 통합하고 일반화한다.

ABSTRACT

We study the problem of removable singularities for degenerate elliptic equations. Let F be a fully nonlinear second-order partial differential subequation of degenerate elliptic type on a manifold X. We study the question: Which closed subsets E in X have the property that every F-subharmonic function (subsolution) on X-E, which is locally bounded across E, extends to an F-subharmonic function on X. We also study the related question for F-harmonic functions (solutions) which are continuous across E. Main results assert that if there exists a convex cone subequation M such that F+M is contained in F, then any closed set E which is M-polar has these properties. To be M-polar means that E = {f = -\infty} where f is M-subharmonic on X and smooth outside of E. Many examples and generalizations are given. These include removable singularity results for all branches of the complex and quaternionic Monge-Ampere equations, and a general removable singularity result for the harmonics of geometrically defined subequations. For pure second-order subequations in R^n with monotonicity cone M, the Riesz characteristic p = p(M) is introduced, and extension theorems are proved for any closed singular set E of locally finite Hausdorff (p-2)-measure (or, more generally, of (p-2)-capacity zero). This applies for example to branches of the equation s_k(D^2 u) = 0 (kth elementary function) where p(M) = n/k. For convex cone subequations themselves, several removable singularity theorems are proved, independent of the results above.

연구 동기 및 목표

• 닫힌 부분집합 $E \subset X$가 $X \setminus E$에서 정의된 $F$-하모닉 함수가 $E$를 가로질러 국소적으로 유계일 경우, 그 함수가 $X$에서 $F$-하모닉 함수로 연장 가능한 조건을 규명하는 것.
• $F$-조화 함수(해)가 $E$를 가로질러 연속일 경우 이 분석을 확장하는 것.
• 전형적인 제거 가능한 특이점 결과들을 완전 비선형이며 가능성이 있는 탈선 타입의 타원형 PDE에 일반화하는 것.
• $M$-단조성($F + M \subset F$)을 갖는 하위방정식에 대해 제거 가능한 집합의 핵심 클래스로 $M$-극점 집합을 도입하고 특성화하는 것.
• 복소 및 허미션틱 몽주-아프레 방정식, 기하학적으로 정의된 하위방정식에 이 이론을 적용하여 새로운 확장 정리들을 도출하는 것.

제안 방법

• 모든 점에서 $F + M \subset F$를 만족하는 하위방정식 $F$를 $M$-단조성이라고 정의하며, 여기서 $M$은 볼록 콘 하위방정식이다.
• $M$-하모닉 함수 $\psi$가 $X \setminus E$에서 $C^\infty$로 정의될 때, $E = \{\psi = -\infty\}$인 닫힌 집합 $E$를 $M$-극점 집합으로 정의한다.
• 비선형 이론과 제트 이론적 추론을 사용하여, $E$ 근처의 함수의 상부 2차 제트를 분석하고, 특히 $F$-하위레벨 집합에 포함되는지 테스트한다.
• $M$-하모닉 함수의 구조를 활용하여 특이점을 제어하고, 비교 원리 및 시험 함수의 사용을 통해 확장 정리를 수립한다.
• 구체적 사례에 이 일반적 프레임워크를 적용한다: 복소 및 허미션틱 몽주-아프레 방정식, $\sigma_k$-방정식, 기하학적으로 정의된 하위방정식.
• 단조성 콘 $M$에 대해 라이에스 특성치 $p_M$을 도입하고, $(p_M - 2)$-하우스도르프 측도가 유한한 집합에 대해 확장 결과를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 닫힌 집합 $E \subset X$가 어떤 조건을 만족할 경우, $X \setminus E$에서 정의된 $F$-하모닉 함수 중 $E$를 가로질러 유계인 함수들이 $X$에서 $F$-하모닉 함수로 연장 가능한가?
• RQ2 어떤 닫힌 집합 $E$가 $F$-조화 함수가 $E$를 가로질러 연속일 경우 제거 가능한가?
• RQ3 $M$-단조성($F + M \subset F$)이 비선형 하위방정식에 대한 제거 가능한 특이점 정리를 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 라이에스 특성치 $p_M$과 하우스도르프 측도는 순수 제2차 하위방정식에 대해 특이점 집합의 제거 가능성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 이 이론은 복소 및 허미션틱 몽주-아프레 방정식의 모든 지점에 적용 가능하며, 기하학적으로 정의된 하위방정식에도 적용 가능한가?

주요 결과

• 만약 $F$가 $M$-단조성이고 $E$가 국소적으로 $C^\infty$인 $M$-극점 집합이라면, $X \setminus E$에서 정의된 $F$-하모닉 함수 중 $E$를 가로질러 국소적으로 위로 유계인 함수는 $X$에서 $F$-하모닉 함수로 연장된다.
• $F$-조화 함수 $u$가 $X$에서 연속일 때, $F$가 $M$-단조성이고 $E$가 내부가 없는 닫힌 집합이며 국소적으로 $C^\infty$인 $M$-극점 집합이라면, $u$는 $X$에서 $F$-조화 함수로 연장된다.
• $\mathbb{R}^n$에서 순수 제2차 하위방정식에 대해 단조성 콘 $M$을 갖는 경우, 국소적으로 유한한 $(p_M - 2)$-하우스도르프 측도를 갖는 모든 닫힌 집합 $E$는 $F$-하모닉 함수 중 $E$를 가로질러 위로 유계인 함수에 대해 제거 가능하며, 여기서 $p_M$은 $M$의 라이에스 특성치이다.
• $\sigma_k(D^2u) = 0$인 $k$-번째 기본 대칭 함수 방정식의 경우, 라이에스 특성치는 $p_M = n/k$이며, $(n/k - 2)$-측도가 유한한 집합에 대해 제거 가능성이 성립한다.
• 복소 몽주-아프레 방정식의 경우 $p_M = 2n/k$이며, 허미션틱 몽주-아프레 방정식의 경우 $p_M = 4n/k$로, 각각 $(2n/k - 2)$-측도 및 $(4n/k - 2)$-측도가 유한한 집합에 대해 제거 가능성이 성립한다.
• 이 이론은 복소 및 허미션틱 몽주-아프레 방정식의 모든 지점과 기하학적으로 정의된 하위방정식에 적용 가능하며, 탈선 타입의 타원형 설정에서 제거 가능한 특이점 결과를 위한 일반적 프레임워크를 제공한다.