[論文レビュー] Renormalization and Computation II: Time Cut-off and the Halting Problem

Yuri I. Manin|ArXiv.org|Aug 24, 2009

Quantum Mechanics and Applications参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、コルモゴロフ複雑性順序と時間カットオフ正則化を用いて無限時間計算をモデル化することで、停止問題に対するホップ代数的正則化枠組みを提案する。軌道ダイナミクスの母関数は、軌道が無限大か有限かに応じて解析的または有理的であることが示され、決定不能性と量子場理論における正則化構造の関連が明らかになる。

ABSTRACT

This is the second installment to the project initiated in [Ma3]. In the first Part, I argued that both philosophy and technique of the perturbative renormalization in quantum field theory could be meaningfully transplanted to the theory of computation, and sketched several contexts supporting this view. In this second part, I address some of the issues raised in [Ma3] and provide their development in three contexts: a categorification of the algorithmic computations; time cut--off and Anytime Algorithms; and finally, a Hopf algebra renormalization of the Halting Problem.

研究の動機と目的

• 無制限の並列性と合成を扱うカテゴリカルな計算枠組みの構築、従来のモデル（チューリングマシンやラムダ計算）の制限を克服すること。
• 「いつでもアルゴリズム」を、時間カットオフを用いた正則化スキームとして形式化し、量子場理論における正則化と類似させる。
• 再帰的ダイナミクスをコルモゴロフ複雑性順序構造に埋め込むことで、停止問題に対するホップ代数的正則化手順を構築すること。
• 再帰的軌道から導かれる母関数の解析的および代数的性質を分析し、有限軌道と無限軌道を区別すること。

提案手法

• フローチャートと型付き・豊か化されたプログラミング手法を用いた計算のカテゴリカルモデルを導入し、安定な合成と明示的な並列性を可能にする。
• コルモゴロフ複雑性順序を用いた時間カットオフ正則化を定義し、有限段階でのアルゴリズム出力を品質測度とともに扱う。
• 再帰的軌道ダイナミクスを符号化するための母関数 $\Phi(k,\sigma;z) = \frac{1}{k^2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{z^{\mathbb{K}(n)}}{(\sigma_{\mathbb{K}}^n(k))^2}$ を構築する。
• ホップ代数的手法を用いて、無限軌道に起因する発散を正則化し、停止問題を正則化問題として扱う。
• コルモゴロフ複雑性によって誘導される双対写像 $\mathbb{K}: X \to \mathbb{Z}^+$ を用いて再帰的写像を再パrametrizeし、その漸近的挙動を分析する。
• 無限軌道に対して $c_1 \cdot \mathbb{K}(n) \leq \sigma_{\mathbb{K}}^n(k) \leq c_2 \cdot \mathbb{K}(n)$ の境界を確立し、成長率を複雑性と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 停止問題は、量子場理論における摂動的正則化と類似する正則化問題として扱えるか？
• RQ2 「いつでもアルゴリズム」における時間カットオフは、量子計算における正則化スキームとどのように対応するか？
• RQ3 コルモゴロフ複雑性順序に基づく再帰的軌道の母関数から、どのような解析的または代数的構造が生じるか？
• RQ4 母関数 $\Phi(k,\sigma;z)$ が有理的または解析的になる条件は何か？
• RQ5 コルモゴロフ複雑性と再帰的ダイナミクスの相互作用は、ホップ代数的正則化スキームを生み出すか？

主な発見

• 無限軌道の場合、母関数 $\Phi(k,\sigma;z)$ は単位円板 $|z|<1$ で解析的であり、境界 $|z|=1$ でも連続である。これは発散が制御されていることを示している。
• 有限軌道の場合、$\Phi(k,\sigma;z)$ は単純極のみを持つ有理関数であり、単位根に位置する。これは周期的挙動を反映している。
• 軌道ダイナミクスは、ある $c_1, c_2 > 0$ に対して $c_1 \cdot \mathbb{K}(n) \leq \sigma_{\mathbb{K}}^n(k) \leq c_2 \cdot \mathbb{K}(n)$ を満たし、成長率とコルモゴロフ複雑性を関連付ける。
• 各対象にコルモゴロフ順序における位置を割り当てる関数 $\mathbb{K}(x)$ は、$c_0 \cdot C_u(x) \leq \mathbb{K}(x) \leq C_u(x)$ を満たし、コルモゴロフ複雑性と整合的である。
• $\sigma_{\mathbb{K}} = \mathbb{K} \circ \sigma \circ \mathbb{K}^{-1}$ の構成により、ダイナミクスを複雑性順序フレームワークで研究可能となり、正則化が可能になる。
• 結果から、シンボリック圧縮（例：ゲノムプロジェクト）を含む認知的プロセスは、コルモゴロフ順序における事前計算に類似しており、複雑性に基づく正則化の使用を支持する。