[論文レビュー] Representing some non-representable matroids

Rudi Pendavingh, Stefan H. M. van Zwam|TU/e Research Portal (Eindhoven University of Technology)|Jun 15, 2011

Advanced Topics in Algebra参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非可換構造（例えばケイリー数）における非表現可能マトロイドの表現を可能にするために、部分体の一般化としての歪部分体（skew partial fields）を導入する。Tutteの鎖群フレームワークを歪部分体へ拡張し、ケイリー数のユニモジュラーマトロイドに対して一般化されたマトリックスツリー定理を証明するとともに、体上の多重線形表現が、可逆行列からなる歪部分体上の表現に対応することを示す。

ABSTRACT

We extend the notion of representation of a matroid to algebraic structures that we call skew partial fields. Our definition of such representations extends Tutte's definition, using chain groups. We show how such representations behave under duality and minors, we extend Tutte's representability criterion to this new class, and we study the generator matrices of the chain groups. An example shows that the class of matroids representable over a skew partial field properly contains the class of matroids representable over a skew field. Next, we show that every multilinear representation of a matroid can be seen as a representation over a skew partial field. Finally we study a class of matroids called quaternionic unimodular. We prove a generalization of the Matrix Tree theorem for this class.

研究の動機と目的

• 可換体を超えたマトロイド表現理論を拡張するために、歪部分体を導入し、任意の歪体では表現不可能なマトロイドの表現を可能にすること。
• 行列式に依存しない非可換代数へのTutteの鎖群アプローチの一般化により、非可換環上での表現を可能にすること。
• 体上のマトロイドの多重線形表現と、可逆行列からなる歪部分体上の表現との間の対応関係を確立すること。
• ケイリー数のユニモジュラーマトロイドのクラスに対して、一般化されたマトリックスツリー定理を確立し、カウチ・ビネ型の公式を用いた基底数の計算を可能にすること。
• 特にケイリー数のユニモジュラー歪部分体について、歪部分体上でのマトロイド表現の構造的・アルゴリズム的性質を調査すること。

提案手法

• Rを非可換環、GをR×に含まれる-1を含む乗法的部分群とするペア(R, G)として、歪部分体を定義し、可換部分体の一般化とする。
• 歪部分体上の鎖群を用いてマトロイド表現を定義し、Tutteの鎖群フレームワークを非可換設定に一般化する。
• 鎖群の性質と一般化された行列式に類似した写像δを用いて、歪部分体上での表現の双対性およびマイナーの性質を確立する。
• 任意の体F上のマトロイドのすべての多重線形表現が、(M(n,F), ⟨GL(n,F) ∩ det⁻¹({±1})⟩)という歪部分体上の表現に一対一に対応することを証明する。
• 第6根の単位根や正則部分体の一般化として、ケイリー数のユニモジュラー歪部分体（QU）を定義し、基本的要素が連続的なケイリー数の集合を形成することを示す。
• QU歪部分体上の行列に対して一般化されたカウチ・ビネの公式を証明し、δ(AA†) = ∑_B δ(A[X,B]A[X,B]†)の形で、基底数の計算が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換代数的構造としての歪部分体を用いることで、歪体を超えたマトロイド表現理論を構築できるか？
• RQ2 体F上のマトロイドのすべての多重線形表現が、F上での可逆n×n行列からなる歪部分体上の表現に対応するか？
• RQ3 ケイリー数のユニモジュラー歪部分体上でのマトロイド表現に対して、一般化されたマトリックスツリー定理を確立できるか？
• RQ4 ケイリー数のユニモジュラー歪部分体の基本的要素の集合は有限か？ また、すべてのQUマトロイドがその要素の有限部分集合によって表現可能か？
• RQ5 非可換環へ行列式に類似した写像δを拡張することで、マトロイドの基底数の計算にカウチ・ビネ恒等式を保つことができるか？

主な発見

• 歪部分体上でのマトロイド表現のクラスは、歪体上での表現のクラスを真に拡張しており、3.5節の具体例によって示されている。
• 体F上のマトロイドのすべての多重線形表現は、(M(n,F), ⟨GL(n,F) ∩ det⁻¹({±1})⟩)という歪部分体上の表現に一対一に対応し、深い代数的対応関係が確立されている。
• ケイリー数のユニモジュラー歪部分体では、基本的要素の集合は無限であり、実部が1/2でノルムが1のケイリー数から構成され、可換部分体の有限基本集合の一般化である。
• QUマトロイドに対して一般化されたマトリックスツリー定理が成り立つ：δ(AA†) = ∑_B δ(A[X,B]A[X,B]†)。ここでδは行列式に類似した写像であり、カウチ・ビネ型の恒等式を用いて基底数の計算が可能となる。
• 一般化されたマトリックスツリー定理の証明は、AA†のすべての非ゼロ要素が可逆であることに依存しており、これは歪体上では成り立つが、一般の歪部分体への拡張には注意が必要である。
• 2-一様マトロイドがQUマトロイドのクラスに含まれるという予想は未解決のままだが、これが肯定的に解決されれば、2-一様マトロイドにおける基底数の計算に多項式時間アルゴリズムが得られる。