[論文レビュー] Infinite Matroids and Determinacy of Games

Nathan Bowler, Johannes Carmesin|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、無限ゲームの決定性を用いて、無限マトロイドの新クラスを構築する。特定のグラフの端集合がゲーム理論的意味で決定可能であるならば、それに対応する $Ψ$-ツリーはマトロイドの基底を形成することを示す。主な貢献は、集合論的決定性と無限マトロイドの存在との間の関係を確立し、DiëstelとPottが提起した疑問に答え、well-quasi-ordering予想の自然な拡張に対する反例を提供することにある。

ABSTRACT

Solving a problem of Diestel and Pott, we construct a large class of infinite matroids. These can be used to provide counterexamples against the natural extension of the Well-quasi-ordering-Conjecture to infinite matroids and to show that the class of planar infinite matroids does not have a universal matroid. The existence of these matroids has a connection to Set Theory in that it corresponds to the Determinacy of certain games. To show that our construction gives matroids, we introduce a new very simple axiomatization of the class of countable tame matroids.

研究の動機と目的

• 局所的に有限なグラフにおける $Ψ$-ツリーがマトロイドの基底を形成するかどうかというDiëstelとPottの疑問を解決すること。
• 無限ゲームの決定性と無限マトロイドの存在との間の関係を確立すること。
• well-quasi-ordering予想の自然な拡張が無限マトロイドへと拡張可能かどうかを検証し、反例を提供すること。
• 平面的無限マトロイドのクラスが普遍マトロイドを持たないことを示すこと。

提案手法

• 単純なゲーム理論的特徴付けに基づく、可算なトゥルーマトロイドの新しい公理的体系を導入する。
• 局所的に有限なグラフの構造を、各ノードが有限マトロイドに該当し、エッジが接続情報を符号化する有限マトロイドの木としてモデル化する。
• このマトロイドの木上で回路ゲームを定義し、プレイヤーが交互に手を選び無限パスを構築する。先手が指定された集合 $Ψ$ に属する端に対応するパスを構成すれば勝利とする。
• このようなゲームの決定性——特に $Ψ$ がボレル集合であるか、ゲーム理論的意味で決定可能である場合——を、$Ψ$-ツリーが基底となるマトロイドの存在の十分条件として用いる。
• 位相的および集合論的道具を適用し、Cantor空間 $2^\mathbb{N}$ 間の連続単射写像を用いて、マトロイド構成における必要な閉包性および分離性を保証する。
• 順序型 $2^{\aleph_0}$ の整列を用いた $Ψ_n$ の再帰的構成により、$Ψ_{n+1}$ に以前の $Ψ_i$ の連続的像が含まれないことを保証し、マトロイド構造における独立性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的に有限なグラフの端集合 $Ψ$ に対して、どのような条件下で $Ψ$-ツリーがマトロイドの基底を形成するか？
• RQ2 無限マトロイドの存在は、無限ゲームの決定性と関連づけられるか？
• RQ3 平面的無限マトロイドのクラスは普遍マトロイドを持つか？
• RQ4 well-quasi-ordering予想の自然な拡張が無限マトロイドへと拡張可能かどうか。あるいは、反例が存在するか？
• RQ5 選択公理は、このようなマトロイドの構成にどのように関与するか。また、ゲームの決定性というより弱い仮定のもとで構成が可能かどうか？

主な発見

• 本稿は、集合 $Ψ$ が関連するゲームが決定可能であるように保証することで、$Ψ$-ツリーが基底となるマトロイドの存在を保証し、大規模な無限マトロイドのクラスを構築する。
• この構成により、well-quasi-ordering予想の自然な拡張が無限マトロイドへと拡張可能でないことが示され、無限マトロイドのクラスがマイナーに関してwell-quasi-orderedではないことが判明した。
• 平面的無限マトロイドのクラスが普遍マトロイドを持たないことが示され、つまり、すべての他のマトロイドを埋め込めるような単一の平面的マトロイドは存在しない。
• このようなマトロイドの存在は、特定のゲームの決定性と同値であり、無限組合せ論と集合論との間の深い関係を確立する。
• 本稿は、可算なトゥルーマトロイドのための新しい単純な公理的体系を導入し、無限設定におけるマトロイド公理の検証を容易にする。
• $Ψ_n$ の再帰的構成により、$Ψ_{n+1}$ に以前の $Ψ_i$ の連続的像が含まれないことが保証され、これが得られるマトロイドの独立性および構造的整合性を維持するために不可欠である。