[論文レビュー] Resolution with Counting: Lower Bounds over Different Moduli

Fedor Part, Iddo Tzameret|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、特徴が0の体上の線形方程式における解像度（Res(lin$_R$)）に対して指数的下界を確立し、大きな係数をもつサブセットサムインスタンスが指数的に大きな反証を必要とするということを示している。さらに、免疫に基づく技術を用いて、木型とDAG型のRes(lin$_\mathbf{F}$)システムを分離し、さまざまな環上での証明複雑性における計数の理解を前進させている。

ABSTRACT

Resolution over linear equations (introduced in [RT08]) emerged recently as an important object of study. This refutation system, denoted Res(lin$_R$), operates with disjunction of linear equations over a ring $R$. On the one hand, the system captures a natural minimal extension of resolution in which efficient counting can be achieved; while on the other hand, as observed by, e.g., Krajicek [Kra16] (cf. [IS14,KO18,GK17]), when considered over prime fields, and specifically $\mathbf{F}_2$, super-polynomial lower bounds on Res(lin$_{\mathbf{F}_2}$) is a first step towards the long-standing open problem of establishing constant-depth Frege with counting gates (AC$^0[2]$-Frege) lower bounds. In this work we develop new lower bound techniques for resolution over linear equations and extend existing ones to work over different rings. We obtain a host of new lower bounds, separations and upper bounds, while calibrating the relative strength of different sub-systems. We first establish, over fields of characteristic zero, exponential-size lower bounds against resolution over linear equations refutations of instances with large coefficients. Specifically, we demonstrate that the subset sum principle $\alpha_1 x_1 +\ldots +\alpha_n x_n = \beta$, for $\beta$ not in the image of the linear form, requires refutations proportional to the size of the image. Moreover, for instances with small coefficients, we separate the tree and dag-like versions of Res(lin$_{\mathbf{F}}$), when $\mathbf{F}$ is of characteristic zero, by employing the notion of immunity from Alekhnovich-Razborov [AR01], among other techniques. (Abstract continued in the full paper.)

研究の動機と目的

• さまざまな環上での線形方程式における解像度（Res(lin$_R$)）のための新しい下界技術を開発すること。
• 特に特徴が0の体上でのRes(lin$_R$)の部分システムの相対的証明複雑性を定量化すること。
• AC$^0[2]$-Fregeの下界という長年の未解決問題に、$\mathbf{F}_2$上でのRes(lin$_{\mathbf{F}_2}$)の基礎的結果を他の環への拡張によりアプローチすること。
• 体$\mathbf{F}$が特徴が0のとき、木型とDAG型の証明システムがRes(lin$_\mathbf{F}$)で分離可能かどうかを検討すること。

提案手法

• AlekhnovichとRazborov [AR01] が提唱した免疫の概念を活用し、特徴が0の体上での木型とDAG型のRes(lin$_\mathbf{F}$)システムを分離する。
• 特徴が0の体上でのサブセットサム原理 $\alpha_1x_1 + \cdots + \alpha_nx_n = \beta$ を分析し、反証サイズが線形形式の像のサイズに依存することを示す。
• 係数$\alpha_i$と$\beta$が大きい場合に、線形形式の像の濃度と反証サイズを関連させることで、Res(lin$_R$)の反証に対して指数的下界を確立する。
• 従来の下界技術を、$\mathbf{F}_2$のような素数体に限らず、特徴が0の環や体に対しても適用可能に拡張する。
• 環上での線形方程式の構造的性質を用いて、証明システムの変種間の分離を導出する。
• 証明複雑性と代数的推論の技術を応用し、Res(lin$_R$)が反証システムとしての強度を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴が0の体上でのRes(lin$_R$)の証明複雑性は何か、特に係数が大きなサブセットサムインスタンスに関しては？
• RQ2 特徴が0の体上での木型とDAG型のRes(lin$_\mathbf{F}$)は分離可能か？
• RQ3 特徴が0の体上でのRes(lin$_R$)の下界は、AC$^0[2]$-Fregeの下界を証明するというより広い目標とどのように関係するか？
• RQ4 線形形式の像のサイズが、Res(lin$_R$)の反証サイズに与える影響は何か？
• RQ5 免疫に基づく技術をどのように変更することで、線形方程式における解像度の分離を証明できるか？

主な発見

• 線形形式の像に含まれない$\beta$をもつサブセットサム原理 $\alpha_1x_1 + \cdots + \alpha_nx_n = \beta$ は、特徴が0の体上では、像のサイズに比例するサイズの反証を必要とする。
• 特徴が0の体上では、Res(lin$_\mathbf{F}$)の木型とDAG型のバージョンが分離され、DAG型の証明が指数的に効率的であることが示された。
• 特徴が0の体上での、係数が大きなサブセットサムインスタンスに対するRes(lin$_R$)の反証に対して、指数的下界が確立された。
• 本稿は、下界技術を素数体から特徴が0の体へと拡張し、新たな分離と下界の導出を可能にした。
• [AR01] で提唱された免疫の使用により、特徴が0の体上でのRes(lin$_\mathbf{F}$)の木型とDAG型証明システムの分離が可能になった。
• これらの結果は、解像度による線形方程式を用いたAC$^0[2]$-Fregeの下界という未解決問題を解消するための基盤的ステップを提供している。