[論文レビュー] Restricted Stirling and Lah numbers, and their inverses

David Galvin|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、1 を含み、自然数の部分集合 R ⊆ ℕ に制限されたブロック、サイクル、またはリストのサイズを持つ、制限付き第二種スターリング数および第一種スターリング数、ラハ数の逆行列に対する組合せ的解釈を提供する。偶数 r の場合、逆行列の成分は森の直接的な数え上げとして与えられる。奇数 r の場合、それらは森の集合の符号付き差分として解釈される。これらの結果は、1 ∈ R を満たす任意の R に対して、母関数の逆関数（再帰的逆関数）の技法を用いて一般化される。

ABSTRACT

Let ${n \brace k}_{[r]}$ denote the number of ways of partitioning a set of size $n$ into $k$ non-empty blocks, each of which has size at most $r$. For all $r$ we find a combinatorial interpretation for the entries of the inverse of the matrix $\left[{n \brace k}_{[r]} ight]_{n,k \geq 1}$. For even $r$ we exhibit sets of forests counted by the entries of the inverse. For odd $r$ our interpretation is as the difference in size between two sets of forests. This answers a question raised by Choi, Long, Ng and Smith in 2006. More generally we consider restricted Stirling numbers of the second and first kinds ${n \brace k}_{R}$, ${n \brack k}_{R}$, and Lah numbers $L(n,k)_{R}$, for ${R} \subseteq {\mathbb N}$. These are defined to be the number of ways of partitioning a set of size $n$ into $k$ non-empty blocks (for Stirling numbers of the second kind), cycles (for Stirling numbers of the first kind) or lists (for Lah numbers) with the size of each block, cycle or list in ${R}$. For any ${R}$ satisfying $1 \in {R}$ (a necessary condition for the inverses to exist) we find combinatorial interpretations for the entries of the inverses of the matrices $\left[{n \brace k}_{R} ight]_{n,k \geq 1}$, $\left[{n \brack k}_{R} ight]_{n,k \geq 1}$ and $\left[L(n,k)_{R} ight]_{n,k \geq 1}$, as the difference in size between two sets of forests. In the case of Stirling numbers of the second kind and Lah numbers, for certain ${R}$ we can do better, interpreting the inverse entries directly as counts of single sets of forests. Among these ${R}$'s are those which include $1$ and $2$ and which have the property that for all odd $n \in {R}$, $n \geq 3$, we have $n\pm1 \in {R}$. Our proofs depend in part on two combinatorial interpretations of the coefficients of the reversion (compositional inverse) of a power series.

研究の動機と目的

• チョイ、ロン、ニェング、スミス（2006年）が提起した、ブロックサイズが r 以下である制限付き第二種スターリング数の逆行列の組合せ的意味を解明すること。
• 制限付き第一種スターリング数およびラハ数について、一般のサイズ制約 R ⊆ ℕ の下で同様の解釈を拡張すること。
• 制限付き分割数の逆行列成分を一様に扱う組合せ的枠組みを提供すること—これは符号付き差分と森の直接的数え上げに基づく。
• 逆行列成分が符号付き差分ではなく直接的な森の数え上げとして解釈可能な集合 R を特定すること。特に、1 と 2 を含み、奇数 n ≥ 3 に対して n → n±1 の操作で閉じている集合を対象とする。

提案手法

• 母関数の合成的逆関数（再帰的逆関数）の係数を、組合せ的解釈を導出するための主要な解析的道具として用いる。
• 逆行列成分に対応する森の族を構成し、奇数サイズの制約がある場合には符号を割り当てる。
• 二種類の再帰的逆関数係数の組合せ的解釈を応用し、第一種および第二種スターリング数、およびラハ数の統一的取り扱いを実現する。
• 制限付き第二種スターリング数 ${n race k}_{R}$、第一種スターリング数 ${n rack k}_{R}$、ラハ数 $L(n,k)_{R}$ を、R に属するサイズのブロック、サイクル、またはリストへの分割の数として定義する。
• R が 1 を含み、奇数 n ≥ 3 に対して n±1 の操作で閉じているとき、逆行列成分が符号の反転なしに森の直接的な数え上げとして与えられることを証明する。
• 母関数と森の構造的分解を用いて、逆行列成分を符号付きまたは符号なしの集合のサイズとしてモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブロックサイズが r 以下である制限付き第二種スターリング数の行列 $[{n race k}_{[r]}]_{n,k \to 1}$ の逆行列成分の組合せ的意味は何か？
• RQ2 ブロック／サイクル／リストのサイズが集合 R ⊆ ℕ に制限された場合、制限付き第一種スターリング数およびラハ数の逆行列成分はどのように組合せ的に解釈できるか？
• RQ3 1 ∈ R を満たす集合 R ⊆ ℕ において、逆行列成分が符号付き差分ではなく森の直接的な数え上げとして解釈可能なのはどのような場合か？
• RQ4 母関数の逆関数の係数が、これらの組合せ的解釈を導出する際に果たす役割は何か？
• RQ5 第一種および第二種スターリング数、およびラハ数の間で、共通の枠組みを用いて解釈を統一できるか？

主な発見

• 偶数 r の場合、行列 $[{n race k}_{[r]}]$ の逆行列の成分は、特定の種類の森の数を直接数えるものであり、直接的な組合せ的解釈を与える。
• 奇数 r の場合、成分は二つの森の集合間のサイズの符号付き差分として解釈され、チョイら（2006年）が提起した未解決問題が解決される。
• 1 ∈ R を満たす任意の R ⊆ ℕ に対して、行列 $[{n race k}_{R}]$、$[{n rack k}_{R}]$、$[L(n,k)_{R}]$ の逆行列成分は、森の基数の符号付き差分として与えられる。
• R が 1 と 2 を含み、奇数 n ≥ 3 に対して n±1 の操作で閉じているとき、逆行列成分は符号の反転なしに森の直接的な数え上げとして与えられる。
• 証明は、母関数の合成的逆関数の係数に関する二つの組合せ的解釈に基づいており、これにより異なる数の種類（第一種、第二種、ラハ数）の統一的取り扱いが可能になる。
• この枠組みは、1 を含む任意のサイズ制約 R に対して、第一種および第二種スターリング数、ラハ数を含むすべての制限付き分割数に一般化可能である。