[論文レビュー] Results on the homotopy type of the spaces of locally convex curves on $S^3$

Emília Alves, Nicolau C. Saldanha|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、3次元球面 $\mathbb{S}^3$ 上の局所凸曲線の空間のホモトピー型を調査し、$\mathcal{L}\mathbb{S}^3(-I)$ の非一般型成分に注目する。これらは一般型曲線の空間とホモトピー同値でない。スピン群の上昇とコホモロジー不変量を用いて、これらの空間がベースのループ空間 $\Omega(\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3)$ への包含写像がホモトピー同値でないことを証明し、有理数係数のベッチー数の下界を計算することで、これまでに知られていた成分よりも豊かなホモトピー型を持つことを示している。

ABSTRACT

A curve $γ: [0,1] ightarrow S^n$ of class $C^k$ ($k \geqslant n$) is locally convex if the vectors $γ(t), γ'(t), γ"(t), \cdots, γ^{(n)}(t)$ are a positive orthonormal basis to $R^{n+1}$ for all $t \in [0,1]$. Given an integer $n \geq 2$ and $Q \in SO_{n+1}$, let $LS^n(Q)$ be the set of all locally convex curves $γ: [0,1] ightarrow S^n$ with fixed initial and final Frenet frame $F_γ(0)=I$ and $F_γ(1)=Q$. Saldanha and Shapiro proved that there are just finitely many non-homeomorphic spaces among $LS^n(Q)$ when $Q$ varies in $SO_{n+1}$ (in particular, at most $3$ for $n=3$). For any $n \geqslant 2$, the homotopy type of one of these spaces is well-known, but not of the others. For $n=2$, Saldanha determined the homotopy type of the spaces $LS^2(Q)$. The purpose of this work is to study the case $n=3$. We will obtain information on the homotopy type of one of these $2$ other spaces, allowing us to conclude that its connected components are not homeomorphic to the connected components of the known space.

研究の動機と目的

• 空間 $\mathcal{L}\mathbb{S}^3(-I)$ の非可縮連結成分のホモトピー型を理解すること。これらは一般型曲線の空間と同相でない。
• これらの成分が $\Omega(\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3)$ に埋め込まれる包含写像がホモトピー同値であるかどうかを特定すること。
• 特に次数 2 および 4 において、これらの空間の有理ベッチー数の下界を計算し、他の成分とは区別できるホモトピー型を持つことを示すこと。
• スピン群の上昇とフレネ・フレーム不変量の枠組みを拡張し、$\mathbb{S}^3$ 内の局所凸曲線の位相を分析すること。

提案手法

• 著者たちは、普遍的な二重被覆 $\mathrm{Spin}_4 \simeq \mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ を用いて、局所凸曲線のフレネ・フレーム曲線をスピン群に上昇させ、初期および終端の上昇フレームを固定することで、曲線空間の精密な分類を可能にする。
• 空間 $\mathcal{L}\mathbb{S}^3(z_l, z_r)$ を、$\mathrm{Spin}_4 \simeq \mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ 内の固定された初期および終端の上昇フレネ・フレームを持つ局所凸曲線の集合として定義する。
• 各成分がベースのループ空間 $\Omega(\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3)$ に埋め込まれる包含写像を、実係数を用いたホモロジーおよびコホモロジーへの誘導準同型を用いて分析する。
• 主な技術は、既知の $\mathbb{S}^2$ 上の写像から $\hat{h}_{2k-2}: \mathbb{S}^{2k-2} \to \mathcal{L}\mathbb{S}^3(z_l, z_r)$ を構成し、それが一般型曲線空間では定値写像とホモトープであるが、対象空間では非自明なコホモロジー類を検出できることを示すことである。
• コホモロジー不変量 $\hat{m}_{2k-2}$ を用いて、$H^j(\Omega(\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3), \mathbb{R})$ にない追加の生成元が $H^{2k-2}(\mathcal{L}\mathbb{S}^3(z_l, z_r), \mathbb{R})$ に存在することを検出する。
• 証明は、特に Saldanha (2006) の $\mathcal{L}\mathbb{S}^2(Q)$ に関する結果を用いた、低次元曲線空間からの上昇構成とホモトピー性質に依存している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間 $\mathcal{L}\mathbb{S}^3(-I)$ の非可縮成分、特に $\mathcal{L}\mathbb{S}^3(-\mathbf{1}, \mathbf{1})$ および $\mathcal{L}\mathbb{S}^3(\mathbf{1}, -\mathbf{1})_n$ は、一般型曲線空間とホモトピー同値か？
• RQ2 $\mathcal{L}\mathbb{S}^3(-\mathbf{1}, \mathbf{1}) \subset \Omega(\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3)$ における自然な包含写像はホモトピー同値か？
• RQ3 $\mathcal{L}\mathbb{S}^3(-\mathbf{1}, \mathbf{1})$ および $\mathcal{L}\mathbb{S}^3(\mathbf{1}, -\mathbf{1})_n$ の有理コホモロジー構造は、$j=2$ のとき $\mathbb{R}^2$、$j=4$ のとき $\mathbb{R}^3$ である $H^j(\Omega(\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3), \mathbb{R})$ を超えてどのような構造を持つのか？
• RQ4 $\hat{h}_{2k-2}$ は、一般型曲線空間では自明なホモトピー類を持つが、$\mathcal{L}\mathbb{S}^3(z_l, z_r)$ では非自明なホモトピー類を検出するか？

主な発見

• 包含写像 $\mathcal{L}\mathbb{S}^3(-\mathbf{1}, \mathbf{1}) \subset \Omega(\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3)$ は、コホモロジー的障害によりホモトピー同値でないことが示された。
• $\mathcal{L}\mathbb{S}^3(-\mathbf{1}, \mathbf{1})$ の有理数係数第二ベッチー数は、$\dim H^2(\mathcal{L}\mathbb{S}^3(-\mathbf{1}, \mathbf{1}), \mathbb{R}) \geq 3$ を満たし、$\Omega(\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3)$ の $\mathbb{R}^2$ を上回る。
• $\mathcal{L}\mathbb{S}^3(\mathbf{1}, -\mathbf{1})_n$ の有理数係数第四ベッチー数は、$\dim H^4(\mathcal{L}\mathbb{S}^3(\mathbf{1}, -\mathbf{1})_n, \mathbb{R}) \geq 4$ を満たし、$\Omega(\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3)$ の $\mathbb{R}^3$ を上回る。
• 偶数 $k \geq 2$ に対して、写像 $\hat{h}_{2k-2}: \mathbb{S}^{2k-2} \to \mathcal{L}\mathbb{S}^3(-\mathbf{1}, \mathbf{1})$ は一般型曲線空間では定値写像とホモトープであるが、$\mathcal{L}\mathbb{S}^3(-\mathbf{1}, \mathbf{1})$ では非自明なコホモロジー類を検出する。
• 奇数 $k \geq 2$ に対して、写像 $\hat{h}_{2k-2}: \mathbb{S}^{2k-2} \to \mathcal{L}\mathbb{S}^3(\mathbf{1}, -\mathbf{1})_n$ は一般型曲線空間では定値写像とホモトープであるが、$\mathcal{L}\mathbb{S}^3(\mathbf{1}, -\mathbf{1})_n$ では非自明なコホモロジー類を検出する。
• $\mathcal{L}\mathbb{S}^3(-\mathbf{1}, \mathbf{1})$ および $\mathcal{L}\mathbb{S}^3(\mathbf{1}, -\mathbf{1})_n$ は、$\mathcal{L\mathbb{S}^3(\pm\mathbf{i}, \mp\mathbf{i})}$ とホモトピー同値でない。これらは互いに $\Omega(\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3)$ とホモトピー同値である。