[論文レビュー] Return time statistics for invariant measures for interval maps with positive Lyapunov exponent

Henk Bruin, Mike Todd|ArXiv.org|Aug 2, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、正のリャプノフ指数を有する非一様的に双曲的である区間写像に対して、双曲的誘導スキームとホーフバウアー塔技術を用いて、不変測度の指数的帰着時間統計を確立する。絶対連続不変測度（acips）および Hölder 潰瘍のための均衡状態が、球への指数的帰着時間則を示すとともに、弱い導関数成長条件の下で多項式 Gibbs 性および Ornstein-Weiss エントロピー公式における正規フラクチュエーションを示す。

ABSTRACT

We prove that multimodal maps with an absolutely continuous invariant measure have exponential return time statistics around a.e. point. We also show a `polynomial Gibbs property' for these systems, and that the convergence to the entropy in the Ornstein-Weiss formula has normal fluctuations. These results are also proved for equilibrium states of some Hoelder potentials.

研究の動機と目的

• 一様に双曲的でない系にまで帰着時間統計の結果を拡張し、正のリャプノフ指数を有する非一様的に双曲的である区間写像に対して適用すること。
• 従来の研究で必要とされていた、臨界軌道に沿った導関数の強いsummability 条件を排除すること。
• 正規性に欠けるため、より困難である球（球体）への指数的帰着時間統計を確立すること。
• acips および均衡状態に対して、弱い導関数成長条件の下で多項式 Gibbs 性および Ornstein-Weiss エントロピー公式における正規フラクチュエーションを証明すること。
• 正のリャプノフ指数を有する任意の不変測度に対して、acips や均衡状態に限らない一般化を達成すること。

提案手法

• 再帰的臨界点を有する系を扱えるように、最初の帰着写像の代わりに双曲的誘導スキームを用いる。
• 動的系を記述するための符号的空間上での解析を可能にするために、ホーフバウアー塔構成を用いる。
• 不変測度の誘導系の台における密度の均一な下界を確立するために、Folklore 定理を適用する。
• 臨界軌道に沿った導関数の成長が遅すぎる集合の測度を制御するために、弱い成長条件の下で Borel-Cantelli レンマを用いる。
• 観測量 $\varphi = \log|Df| - \int \log|Df|\, d\mu$ に対して Gordin の定理を適用し、Ornstein-Weiss 公式における対数正規フラクチュエーションを保証する中心極限定理を証明する。
• 弱い Gibbs 性および Hölder 潰瘍理論を用いて、均衡状態への一般化を達成し、[K1] および [BRSS] の結果を用いて技術的仮定を排除する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界軌道に沿った導関数の強いsummability 条件を要しない条件下で、正のリャプノフ指数を有する多モーダル区間写像の acips に対して指数的帰着時間統計を確立できるか？
• RQ2 パラメータ $\delta$ が 1 に近いときの $\varphi(x) = -\delta \log|Df(x)|$ というポテンシャルに対する均衡状態が、球への指数的帰着時間統計を示すか？
• RQ3 臨界軌道に沿った導関数の弱い成長条件の下で、acips および均衡状態に多項式 Gibbs 性が成立するか？
• RQ4 Ornstein-Weiss エントロピー公式における収束速度が、正規フラクチュエーションを示すか？
• RQ5 acips や均衡状態に限らない、正のリャプノフ指数を有する一般の不変測度に対しても、本結果を拡張できるか？

主な発見

• $C^3$ 多モーダル区間写像の acips に対して、臨界軌道に沿った導関数の summability 条件がなくても、指数的帰着時間統計が成立する。
• 導関数の弱い成長条件の下で、多項式 Gibbs 性が成立する。これは、従来の仮定に対する顕著な緩和である。
• Ornstein-Weiss 公式におけるエントロピーへの収束に正規フラクチュエーションが存在し、観測量 $\varphi = \log|Df| - \int \log|Df|\, d\mu$ に対する中心極限定理によって示された。
• $\log|Df|$ の $L^2$-可積分性が確立され、Gordin の定理を用いてフラクチュエーション結果を証明する上で不可欠である。
• 結果は、自然な Hölder ポテンシャルのクラスの均衡状態に対しても拡張可能であり、証明は弱い Gibbs 性および同様の系に対する既知の CLT 結果に依拠する。
• ホーフバウアー塔および誘導系の使用により、従来の研究で制限的とされた仮定（例えば、臨界拡張の均一な有界性や同一の臨界点の次数）を排除できた。