[论文解读] Ricci Curvatures on Hermitian manifolds

Kefeng Liu, Xiaokui Yang|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 52被引用 4

一句话总结

本文首次为复流形引入了Aeppli-Chern类，并通过反canonical线丛上Levi-Civita联络的曲率确立了其几何意义。系统比较了Hermitian、Chern和Riemannian联络下的Ricci曲率，构造了Hopf流形上的显式Levi-Civita Ricci-flat度量，并证明了具有非负第一Chern类的非Kähler Hermitian流形可以具有严格负的Riemannian数量曲率。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the first Aeppli-Chern class for complex manifolds and show that the $(1,1)$- component of the curvature $2$-form of the Levi-Civita connection on the anti-canonical line bundle represents this class. We systematically investigate the relationship between a variety of Ricci curvatures on Hermitian manifolds and the background Riemannian manifolds. Moreover, we study non-Kähler Calabi-Yau manifolds by using the first Aeppli-Chern class and the Levi-Civita Ricci-flat metrics. In particular, we construct explicit Levi-Civita Ricci-flat metrics on Hopf manifolds $S^{2n-1} imes S^1$. We also construct a smooth family of Gauduchon metrics on a compact Hermitian manifolds such that the metrics are in the same first Aeppli-Chern class, and their first Chern-Ricci curvatures are the same and nonnegative, but their Riemannian scalar curvatures are constant and vary smoothly between negative infinity and a positive number. In particular, it shows that Hermitian manifolds with nonnegative first Chern class can admit Hermitian metrics with strictly negative Riemannian scalar curvature.

研究动机与目标

• 通过反canonical线丛上Levi-Civita联络的曲率，定义并研究复流形上的第一Aeppli-Chern类。
• 澄清Hermitian流形上各种Ricci曲率（Levi-Civita、Chern、Riemannian）之间的关系，尤其在非Kähler情形下。
• 在Hopf流形 $\mathbb{S}^{2n-1} \times \mathbb{S}^1$ 上显式构造Levi-Civita Ricci-flat度量。
• 证明具有非负第一Chern类的Hermitian流形可以容许具有严格负Riemannian数量曲率的度量。
• 构造一个光滑的一族Gauduchon度量，位于同一Aeppli-Chern类中，具有相同的非负第一Chern-Ricci曲率，但数量曲率从 $-\infty$ 到正数连续变化。

提出的方法

• 将第一Aeppli-Chern类 $c_1^{AC}$ 定义为 $H^{1,1}_A(M)$ 中的上同调类，通过反canonical线丛上Levi-Civita联络的曲率形式定义。
• 通过将Riemann曲率张量与Hermitian度量收缩，定义Levi-Civita Ricci曲率的四个分量 $\mathfrak{R}^{(1)}$ 到 $\mathfrak{R}^{(4)}$。
• 利用Chern联络的曲率 $\Theta$ 表示第一Chern类 $c_1(M)$，并与Levi-Civita曲率 $\mathfrak{R}$ 比较，以关联Riemann几何与Hermitian几何。
• 应用Bianchi恒等式，将 $*$-Ricci曲率与Hermitian数量曲率关联，证明 $s^* = 2s_H$。
• 通过特定的ansatz在Hopf流形上构造显式Hermitian度量，并通过曲率计算验证其Ricci-flat性。
• 在同一个Aeppli-Chern类中构造一个光滑的一族Gauduchon度量，其第一Chern-Ricci曲率为固定非负，但数量曲率从 $-\infty$ 到正数连续变化。

实验结果

研究问题

• RQ1 第一Aeppli-Chern类能否作为反canonical线丛上Levi-Civita联络曲率的几何实现？
• RQ2 在非Kähler Hermitian流形上，各种Ricci曲率（Levi-Civita、Chern、Riemannian、$*$-Ricci）之间有何关系？
• RQ3 非Kähler Calabi-Yau流形是否存在？能否通过Levi-Civita Ricci-flat度量显式构造？
• RQ4 具有非负第一Chern类的Hermitian流形能否容许具有严格负Riemannian数量曲率的度量？
• RQ5 能否在同一个Aeppli-Chern类中构造一个光滑的Gauduchon度量族，其第一Chern-Ricci曲率完全相同且非负，但数量曲率连续变化？

主要发现

• 第一Aeppli-Chern类 $c_1^{AC}(L)$ 由反canonical线丛上Levi-Civita联络曲率2-形式的$(1,1)$分量表示。
• 第一Levi-Civita Ricci曲率 $\mathfrak{R}^{(1)}$ 不是 $d$-闭的，因此不表示 $H^{1,1}_{\overline{\partial}}(M)$ 中的类，但其在Aeppli上同调中定义了一个类。
• 在 $n \geq 2$ 时，显式构造了Hopf流形 $\mathbb{S}^{2n-1} \times \mathbb{S}^1$ 上的Levi-Civita Ricci-flat度量。
• 在紧致Hermitian流形上构造了一个光滑的Gauduchon度量族，所有度量位于同一第一Aeppli-Chern类中，具有相同的非负第一Chern-Ricci曲率，且其Riemannian数量曲率从 $-\infty$ 到正数连续变化。
• 具有非负第一Chern类的Hermitian流形可以容许具有严格负Riemannian数量曲率的Hermitian度量，这与Kähler几何中的直观预期相矛盾。
• $*$-Ricci曲率一般既非对称也非反对称，由于其混合对称性，不能在任何几乎Hermitian流形上为正定。