[論文レビュー] Rigidity results for complete manifolds with nonnegative scalar curvature

Jintian Zhu|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、チェーバー＝グロモルの分解定理に依存せずに、局所的グラフィカル収束と $h$-最小境界を用いたコンパクトネスの確立により、非負スカラー曲率をもつ完全なリーマン多様体の剛性結果を確立する。$3 \leq n \leq 7$ における $n$-次元多様体が $T^{n-1} \times \mathbb{R}$ へ非ゼロ次数のproperな写像をもつとき、その多様体は平坦な積 $T^{n-1} \times \mathbb{R}$ に等長であることが示され、万全な $2$-サイクロトロピー不等式が得られ、等号成立は $\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}^{n-2}$ に等長に分解する場合に限る。

ABSTRACT

In this paper, we are going to show some rigidity results for complete open Riemannian manifolds with nonnegative scalar curvature. Without using the famous Cheeger-Gromoll splitting theorem we give a new proof to a rigidity result for complete manifolds with nonnegative scalar curvature admitting a proper smooth map to $T^{n-1} imes \mathbf R$ with nonzero degree. Here we introduce a trick to obtain the compactness of limit hypersurface from locally graphical convergence. Based on the same idea we also establish an optimal $2$-systole inequality for several classes of complete Riemannian manifolds with positive scalar curvature and further prove a rigidity result for the equality case.

研究の動機と目的

• 非負スカラー曲率をもつ完全な開多様体が $T^{n-1} \times \mathbb{R}$ へ非ゼロ次数の proper 写像をもつ場合の剛性を、チェーバー＝グロモルの分解定理に依存しない方法で再証明すること。
• 次元 $3 \leq n \leq 7$ の非負スカラー曲率をもつ完全多様体に対して、トポロジー的制約の下で最適な $2$-サイクロトロピー不等式を確立すること。
• $2$-サイクロトロピー不等式の等号成立条件を同定し、等号成立は万全な被覆が $\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}^{n-2}$ に等長に分解することを示すこと。

提案手法

• 適切に選ばれた関数 $h$ を用いて、固定されたホモロジー類内に $h$-最小境界を構成し、すべての境界が固定されたコンパクト集合と交わることを保証する。
• 超曲面の局所的グラフィカル収束を用いて、無限遠における位相的性質を制御し、重複度1の滑らかな収束を達成する。
• カルビ・ヤウの体積成長推定を用いて、リッチ平坦性から有限体積および極限超曲面のコンパクトネスを導出する。
• 安定性推定とヤコビ作用素を用いて、関連する積多様体 $\bar{\Sigma}_k = \hat{\Sigma}_k \times \mathbb{S}^1$ のスカラー曲率の下界を導出する。
• $\mathbf{S}^1$-対称性の下での変分法を用いて、極限超曲面上の共形因子 $\hat{u}$ が調和的であり、したがって定数であることを示す。
• 層構造と面積最小化の議論を用いて、等号成立の場合に万全な被覆が等長的に $\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}^{n-2}$ に分解することを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負スカラー曲率をもつ完全多様体が $T^{n-1} \times \mathbb{R}$ へ非ゼロ次数の写像をもつ場合の剛性は、チェーバー＝グロモルの分解定理に依存せずに証明可能か？
• RQ2 次元 $3 \leq n \leq 7$ の完全 $n$-多様体で正のスカラー曲率をもち、$\mathbf{S}^2 \times T^{n-2}$ へ非ゼロ次数の写像をもつ場合の球面的 $2$-サイクロトロピーの最適上界は何か？
• RQ3 $2$-サイクロトロピー不等式の等号成立が $\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}^{n-2}$ に等長に分解するという積構造をもたらす幾何学的・位相的条件は何か？
• RQ4 非負スカラー曲率をもつ完全多様体において、グローバルコンパクトネスが欠如する状況下で、極限超曲面のコンパクトネスをどのように達成できるか？
• RQ5 $h$-最小境界の構成が、幾何的最小化における無限遠での質量損失を克服するために果たす役割は何か？

主な発見

• 次元 $3 \leq n \leq 7$ において、非負スカラー曲率をもつ完全な向きつけ可能な $n$-多様体が $T^{n-1} \times \mathbb{R}$ へ非ゼロ次数の smooth な proper 写像をもつならば、その多様体は $T^{n-1} \times \mathbb{R}$ に等長であり、その証明はチェーバー＝グロモル定理に依存しない。
• 最適な $2$-サイクロトロピー不等式が成立する：$3 \leq n \leq 7$ の完全 $n$-多様体で正のスカラー曲率をもち、$\mathbf{S}^2 \times T^{n-2}$ へ非ゼロ次数の写像をもつ場合、$\inf R(g) \cdot \operatorname{sys}_2(M,g) \leq 8\pi$ が成り立つ。
• $2$-サイクロトロピー不等式の等号成立は、$\inf R(g) = 2$ かつ $\operatorname{sys}_2(M,g) = 4\pi$ の仮定の下で、万全な被覆が $\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}^{n-2}$ に等長に分解する場合に限る。
• $h$-最小境界列から得られる極限超曲面は、有限体積およびリッチ平坦性により、カルビ・ヤウの体積成長推定のおかげでコンパクトである。
• 極限超曲面は $M$ における面積最小境界であり、重複度1の滑らかな収束により位相的制御が可能となり、層構造に基づく剛性結論が得られる。
• 極限超曲面上の共形因子は調和的かつ正であるため、定数であり、これにより極限超曲面は非負リッチ曲率をもち、かつコンパクトであることが示される。