[論文レビュー] Rigorous construction of a Spin Foam Model for Lorentzian BF theory and Gravity: The foundations

Suresh K Maran|ArXiv.org|Nov 28, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$SL(2,\mathbb{C})$ のゲルファンド＝ナイマー表現理論を用いて、一般のローレンツ型スピンフォーム模型の厳密な構築を提示する。これは、BF理論および重力のための一般化されたローレンツ型スピンフォーム模型であり、バーレット＝クラインおよびロヴェッリ＝ペレスの模型を特別な場合として含む統一的枠組みを確立する。単体振幅を導出し、その漸近的極限を分析し、バーレット＝クライン制約を課すための条件を定式化することで、完全なローレンツ型重力模型が満たすべき一般方程式を導出する。

ABSTRACT

Spin foam models for gravity or BF theory can be constructed by path integral formulation of the classical discrete models formulated on simplicial manifolds. Using this, we discuss the rigorous construction of Lorentzian spin foam models for gravity and BF theory based on the Gelfand-Naimark theory of the representations of SL(2,C). First we construct the simplex amplitude for the BF SL(2,C) model. Next we discuss the implementation of the Barrett-Crane constraints on this model to derive the spin foam model for gravity. The non-trivial constraints are the cross simplicity constraints which state that the sum of the bivectors associated to any two triangles of a quantum tetrahedron is simple. We do not complete the construction of the model, but ultimately we derive an equation corresponding to the cross simplicity constraints that the Lorentzian spin foam model of gravity has to satisfy. In the appendix we give a simple derivation of the Clebsch-Gordan coefficients for SL(2,C).

研究の動機と目的

• 異なる $SL(2,\mathbb{C})$ の部分群に基づく既存の模型を統合する一般のローレンツ型スピンフォーム模型を、重力のためのものとして開発すること。
• ゲルファンド＝ナイマー表現理論を用いて、$SL(2,\mathbb{C})$ BF理論の単体振幅を構築すること。
• BFスピンフォーム模型の漸近的極限を分析し、その形式的方程式を導出すること。
• BF模型にバーレット＝クライン制約を課す条件を定式化し、一般のローレンツ型重力模型を得ること。
• 付録で $SL(2,\mathbb{C})$ クレブシュ＝ゴルダン係数の自己完結的導出を提供すること。

提案手法

• 群のゲルファンド＝ナイマー表現理論を用いて、$SL(2,\mathbb{C})$ BF理論のスピンフォーム模型を構築する。
• 離散的BF作用の経路積分による正準的量子化を用い、ホロノミー制約のデルタ関数表現を通じて単体振幅を導出する。
• スピンが大きい極限における振幅の振る舞いを解析することで、BF模型の漸近的極限を分析する。
• 量子レベルでバーレット＝クライン制約を課すことにより、模型を重力に制限し、模型が満たすべき一般方程式を導出する。
• 変数変換を施し、線形方程式系を解くことで、振幅積分内のデルタ関数を消去する。
• 表現理論および線形方程式系の解を用いて、$SL(2,\mathbb{C})$ のクレブシュ＝ゴルダン係数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バーレット＝クラインおよびロヴェッリ＝ペレスの模型を統合する一般のローレンツ型スピンフォーム模型を構築することは可能か？
• RQ2 表現理論を用いた $SL(2,\mathbb{C})$ BF理論の正しい単体振幅の形は何か？
• RQ3 BF模型の漸近的極限はどのように振る舞い、それを記述する方程式は何か？
• RQ4 一般のローレンツ型模型がバーレット＝クライン制約を実装するためには、どのような条件を満たすべきか？
• RQ5 部分群 $SU(2)$、$E(2)$、および $SU(1,1)$ は統一的模型において果たす役割は何か？また、それらは振幅にどのように符号化されているか？

主な発見

• 一般のローレンツ型スピンフォーム模型は、バーレット＝クラインおよびロヴェッリ＝ペレスの模型を特別な場合として含む統一的枠組みとして導出された。
• $SL(2,\mathbb{C})$ BF理論の単体振幅は、ゲルファンド＝ナイマー表現理論および群元のデルタ関数恒等式を用いて構築された。
• BF模型の漸近的極限は形式的に導出され、振幅の振るまいは大きなスピンの領域に支配される。
• バーレット＝クライン制約を課す条件は、完全なローレンツ型重力模型が満たすべき一般方程式に導く。
• $SL(2,\mathbb{C})$ のクレブシュ＝ゴルダン係数は明示的に導出され、表現ラベルの虚部の和が偶数である場合にのみ非ゼロの値を取る。
• 最終的な振幅の式は、クレブシュ＝ゴルダン係数の積として与えられ、スピンラベルおよび複素変数への依存性が明示的に示されている。