[論文レビュー] Robust Algorithms Under Adversarial Injections

Paritosh Garg, Sagar Kale+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Optimization and Search Problems参考文献 24被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、敵対的注入モデルを導入し、ランダムに順序付けられた入力ストリームに敵対的攻撃者が誤った要素を挿入できる半ランダムなストリーミングフレームワークを提示する。著者らは、基数制約付き単調なサブモジュラ最大化問題に対して、0.55-近似を達成する、洗練されたシンプルなストリーミングアルゴリズムを提案する。ノイズ注入に対しても、再帰的解析を用いて敵対的影響を制限することで、弱いランダム性仮定下でのストリーミングアルゴリズムの耐性向上に顕著な一歩を踏み出す。

ABSTRACT

In this paper, we study streaming and online algorithms in the context of randomness in the input. For several problems, a random order of the input sequence---as opposed to the worst-case order---appears to be a necessary evil in order to prove satisfying guarantees. However, algorithmic techniques that work under this assumption tend to be vulnerable to even small changes in the distribution. For this reason, we propose a new \emph{adversarial injections} model, in which the input is ordered randomly, but an adversary may inject misleading elements at arbitrary positions. We believe that studying algorithms under this much weaker assumption can lead to new insights and, in particular, more robust algorithms. We investigate two classical combinatorial-optimization problems in this model: Maximum matching and cardinality constrained monotone submodular function maximization. Our main technical contribution is a novel streaming algorithm for the latter that computes a $0.55$-approximation. While the algorithm itself is clean and simple, an involved analysis shows that it emulates a subdivision of the input stream which can be used to greatly limit the power of the adversary.

研究の動機と目的

• 小さな分布的摂動に対するランダム順序ストリーミングアルゴリズムの脆さに対処すること。
• 最悪ケースとランダム順序ストリームの間にある、より現実的な入力環境を提供する新たなモデル「敵対的注入」を提案すること。
• 均一なランダム性に過剰適合しない、現実的な入力歪みに耐える強力な近似保証を維持するアルゴリズムの開発。
• 敵対的ノイズが存在する中で、部分線形メモリで1−1/eのような強力な保証を達成できるかを調査すること。
• マッチングおよびサブモジュラ最大化を含む組合せ最適化問題において、オンラインモデルとストリーミングモデルの間の分離を、敵対的注入の下で探ること。

提案手法

• 敵対的注入モデルを提案：入力はランダムに順序付けられるが、敵対的攻撃者がどこにでもノイズ要素を挿入可能で、アルゴリズムはそのノイズ要素を識別できない。
• アルゴリズムの性能を、ノイズを除いた「良い要素」（Egood）の最適解と比較することで分析する。
• 要素数とラウンド数に関する帰納法に基づく再帰的解析フレームワークを用い、期待される近似比を抑え込むための再帰関数R(k,h)を定義する。
• 敵対的攻撃者がアルゴリズムの意思決定に与える影響を制限するため、入力ストリームの分割を模倣する新規技術を採用する。
• t=0.8に基づくしきい値戦略を用い、高価値要素とノイズの両方の選択をバランスさせ、敵対的注入に対して耐性を確保する。
• 条件付き期待値とサブモジュラリティを用いて、2つのケース（アルゴリズムが早期に良い要素を選択するか、ノイズにだまされるか）を分析し、近似比の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム順序モデル用に設計されたアルゴリズムは、入力ストリームにおける小さな敵対的摂動に対して耐性を示せるか？
• RQ2 敵対的注入下でも、限られたメモリを用いてサブモジュラ最大化問題に対して定数近似比（例：0.55）を達成できるか？
• RQ3 敵対的注入モデルは、組合せ最適化問題においてオンラインモデルとストリーミングモデルの間で意味的な分離を示すか？
• RQ4 敵対的注入モデル下で、宇宙サイズnに依存しないメモリを用いて、サブモジュラ最大化の1−1/e近似比を達成できるか？
• RQ5 敵対的注入モデルにおけるストリーミングアルゴリズムにおいて、近似比とメモリ使用量の根本的トレードオフは何か？

主な発見

• 提案された基数制約付き単調サブモジュラ最大化のストリーミングアルゴリズムは、0.55-近似比を達成し、これは敵対的注入モデルにおける最初の結果である。
• アルゴリズムは、宇宙サイズnに依存せず、k（基数制約）にのみ依存するメモリ使用量で0.55-近似を維持する。
• t=0.8のとき、すべての正の整数kに対してR(k,k) ≥ 0.5506であることが解析により証明され、期待される近似比の下界が確立される。
• アルゴリズムは、敵対的ノイズ注入に対して耐性を示す。これは、敵対的影響を制限するためのストリーム分割の模倣に起因する。
• 重みなしマッチングにおいて、このモデルはストリーミング設定では1/2の壁を破るが、オンライン設定では破らない。これは、2つのモデル間の非自明な分離を示している。
• 結果から、1−1/eの保証がポリ(k)のメモリで達成可能である可能性が示唆されるが、これは未解決の問題のままである。