[論文レビュー] Roe C*-algebra for groupoids and generalized Lichnerowicz Vanishing theorem for foliated manifolds

Xiang Tang, Rufus Willett+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2016

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ひとこと要約

本稿は、非コンパクトな単位空間を備えたLie群ガロアドに、粗い構造とハール系を備えた一般化されたRoe C*-代数を導入し、開いたフォロリエーション多様体上の縦断的楕円型作用素の解析的インデックス理論を可能にする。Connesの接続群ガロアドと群ガロアド擬微分作用素の計算を用いて、粗い解析的インデックス写像を確立し、一般化されたLichnerowiczの消滅定理を証明する：フォロリエーション多様体上の葉方向Dirac作用素が一様に正のスカラー曲率を持つ場合、そのRoe C*-代数における解析的インデックスは消える。

ABSTRACT

We introduce the concept of Roe C*-algebra for a locally compact groupoid whose unit space is in general not compact, and that is equipped with an appropriate coarse structure and Haar system. Using Connes' tangent groupoid method, we introduce an analytic index for an elliptic differential operator on a Lie groupoid equipped with additional metric structure, which takes values in the K-theory of the Roe C*-algebra. We apply our theory to derive a Lichnerowicz type vanishing result for foliations on open manifolds.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな単位空間を持つ開いたフォロリエーション多様体上の縦断的楕円型作用素へのインデックス理論の拡張を図ること。
• 非コンパクトな単位空間、粗い構造、ハール系を備えたLie群ガロアドのRoe C*-代数を定義し、縮小群ガロアド C*-代数と古典的Roe代数の両方を一般化すること。
• 接続群ガロアドと擬微分作用素の計算を用いて、記号代数のK理論からRoe C*-代数のK理論への粗い解析的インデックス写像を構成すること。
• 葉方向Dirac作用素の解析的インデックスが正のスカラー曲率の条件下で消えるLichnerowicz型の消滅結果を確立すること。

提案手法

• Lie群ガロアド $ \mathsf{G} $ に対して、そのLie代数束 $ A $ 上のユークリッド構造から誘導される粗い構造 $ \mathcal{E} $ を用いて、Roe C*-代数 $ C^*_{\text{\mathcal{E}}}(\mathsf{G}) $ を導入する。
• Connesの接続群ガロアド構成法を用いて、群ガロアド C*-代数の粗い版を定義し、解析的インデックス写像 $ \operatorname{Ind}_a: K_\bullet(C_e(A^*)) \to K_\bullet(C^*_{\mathcal{E}}(\mathsf{G})) $ を得る。
• 有界な微分を持つ記号 $ (V_1, V_2, \sigma) \in K_0(C_e(A^*)) $ を定義し、無限遠で可逆性を保証する。
• 一意パラメータ族の群ガロアド擬微分作用素 $ \{Q^\lambda(\sigma)\}_{\lambda \in [0,1]} $ を構成し、接続群ガロアドのRoe C*-代数上での乗数 $ Q(\sigma) $ を定義する。
• 評価写像 $ \lambda = 0 $ において、K理論類 $ [Q(\sigma)] $ が記号類 $ [V_1, V_2, \sigma] $ に写されることが証明され、インデックス写像の整合性が確立される。
• スピン構造と一様に正のスカラー曲率を持つフォロリエーション多様体上の葉方向Dirac作用素に理論を適用し、その解析的インデックスが消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトな単位空間と粗い構造を備えたLie群ガロアドに対するRoe C*-代数をどのように一般化できるか。
• RQ2 接続群ガロアドと擬微分作用素の計算を用いて、開いたフォロリエーション多様体上の縦断的楕円型作用素に対する粗い解析的インデックス写像を定義できるか。
• RQ3 葉方向Dirac作用素の解析的インデックスが、Roe C*-代数のK理論において消える幾何的条件は何か。
• RQ4 有界な幾何構造の仮定（一様に有界な曲率の微分と正の注ぎ込み半径）がインデックス理論に与える影響は何か。
• RQ5 接続群ガロアドは、古典的Roe代数と縮小群ガロアド C*-代数の両方を一般化する粗いインデックス写像を構成するために果たす役割は何か。

主な発見

• Roe C*-代数 $ C^*_{\mathcal{E}}(\mathsf{G}) $ は、単位空間のコンパクト性に応じて、縮小群ガロアド C*-代数 $ C^*_r(\mathsf{G}) $ と古典的Roe代数 $ C^*(M) $ の両方を一般化する。
• 粗い解析的インデックス写像 $ \operatorname{Ind}_a $ は適切に定義されており、$ \lambda = 0 $ での評価写像において記号類と整合的であることが、定理4.8で示されている。
• 偶数次元のLie代数束にスピン構造とRiemann計量が存在し、仮定4.3を満たす場合、Dirac作用素の記号 $ (\mathcal{S}^+, \mathcal{S}^-, \sigma(\not{D}_+)) $ は $ K_0(C_e(A^*)) $ に滑らかな記号を定義する。
• Lie代数束上のRiemann計量が一様に正のスカラー曲率 $ k \geq \epsilon > 0 $ を持つ場合、葉方向Dirac作用素の解析的インデックスは消える：$ \operatorname{Ind}_a(\sigma(\widehat{\not{D}}_+)) = 0 $ および $ \operatorname{Ind}_a(\sigma(\widetilde{\not{D}}_+)) = 0 $。
• 同じ正のスカラー曲率および有界な幾何構造の仮定の下で、被覆空間 $ \widehat{M} $ と正規バンドルの計量空間 $ \widetilde{M} $ の両方において、消滅結果が成り立つ。
• 被覆補題（補題6.1）が証明され、任意の完全なRiemann多様体が曲率と注ぎ込み半径の境界を持つ場合、固定半径の球による一様局所有限被覆が存在し、重複度が制御可能であることが示されている。