[論文レビュー] Exact groupoids

Claire Anantharaman-Delaroche|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 57被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、局所コンパクトなグループアトイドにおける正確性（exactness）を導入し、特に内的アメニタリティを満たすエタール群コアドの文脈で、六つの正確性の概念——例えば、無限大におけるアメニタリティ、均一代数の核的性、および縮小C*-代数の正確性——の同値性を確立する。主な貢献は、既知の離散群に関する結果を、変換群コアドを含むより広いクラスにまで拡張し、内的アメニタリティのもとでこれらの六つの定義が同値であることを証明することにある。

ABSTRACT

Our purpose is to introduce in the setting of locally compact groupoids the analogues of the well known equivalent definitions of exactness for discrete groups. We study the relations between these notions. The best results are obtained for a class of \'etale groupoids that we call inner amenable, since for locally compact groups this notion coincides with the notion of inner amenability. We give examples of such groupoids which include transformation groupoids associated to actions of discrete groups by homeomorphisms on locally compact spaces. We have no example of \'etale groupoids which are not inner amenable. For inner amenable \'etale groupoids we extend what is known for discrete groups in proving the equivalence of six natural notions of exactness: (1) strong amenability at infinity; (2) amenability at infinity; (3) nuclearity of the uniform (Roe) algebra of the groupoid; (4) exactness of this $C^*$-algebra; (5) exactness of the reduced $C^*$-algebra; (6) exactness of the groupoid in the sense of Kirchberg-Wassermann. We give several illustrations of our results and review the results obtained by several authors that highlight the crucial role of exactness in order to clarify the relation between the amenability of a groupoid and the fact that its full and reduced $C^*$-algebras coincide. We end our paper with open questions and an appendix on fibrewise compactifications because our work requires to extend from discrete groups to \'etale groupoids the notion of Stone-Cech compactification on which the groupoid acts.

研究の動機と目的

• 離散群における正確性の概念を、局所コンパクトなグループアトイドの文脈へと拡張すること。
• 内的アメニタリティを満たすエタール群コアド——いわゆる内的アメニタリティ群コアドと呼ばれるクラス——を特定し、それらを研究すること。
• 内的アメニタリティを満たすエタール群コアドに対して、六つの自然な正確性の概念の同値性を確立すること。
• 群コアドのアメニタリティと、その全C*-代数と縮小C*-代数の一致との関係を明確にすること。
• ファイブリッドコンパクト化の枠組みを提供し、離散群へのStone-Cechコンパクト化の一般化を群コアド作用へと拡張すること。

提案手法

• エタール群コアドにおける内的アメニタリティの概念を導入し、それが局所コンパクト群における古典的定義を一般化することを示す。
• 六つの正確性候補の定義と分析を行う：無限大における強いアメニタリティ、無限大におけるアメニタリティ、均一（Roe）代数の核的性、均一C*-代数の正確性、縮小C*-代数の正確性、およびKirchberg-Wassermann流の正確性。
• 特にStone-Cechコンパクト化の一般化であるファイブリッドコンパクト化を用い、離散群からエタール群コアドへの技法の拡張を実現する。
• 内的アメニタリティの仮定の下で、六つの正確性概念の間の含意関係を確立し、それらの同値性を証明する。
• 局所コンパクト空間への離散群作用から生じる変換群コアドに結果を適用する。
• 核的性および正確性の性質を含むC*-代数的技法を用い、群コアドC*-代数の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散群における正確性の概念の類似は、局所コンパクトなグループアトイドへ自然に拡張可能か？
• RQ2 エタール群コアドにおける内的アメニタリティは、局所コンパクト群における古典的内的アメニタリティとどのように関係するか？
• RQ3 内的アメニタリティを満たすエタール群コアドに対して、無限大におけるアメニタリティ、核的性、C*-代数の正確性という六つの正確性概念は同値か？
• RQ4 正確性は、群コアドの全C*-代数と縮小C*-代数が一致するかどうかを決定づける上でどのような役割を果たすか？
• RQ5 ファイバー空間への群コアド作用に対して、Stone-Cechコンパクト化をどのように一般化すれば、正確性の分析を支援できるか？

主な発見

• 内的アメニタリティを満たすエタール群コアドに対して、六つの正確性概念は同値である：無限大における強いアメニタリティ、無限大におけるアメニタリティ、均一代数の核的性、均一C*-代数の正確性、縮小C*-代数の正確性、およびKirchberg-Wassermann流の正確性。
• 内的アメニタリティを満たすエタール群コアドのクラスには、局所コンパクト空間への離散群のホメオモーフィズムによる作用から生じる変換群コアドが含まれる。
• エタール群コアドで内的アメニタリティを満たさない例は、現在のところ知られていないため、このクラスは広範である可能性がある。
• 正確性は、群コアドの全C*-代数と縮小C*-代数が一致するかどうかを決定づける上で、極めて重要な役割を果たす。
• 本稿では、Stone-Cechコンパクト化のファイブリッド拡張を提供し、離散群の技法をエタール群コアドへ一般化する上で不可欠な役割を果たす。
• 結果は、既知の離散群に関する定理を、より広い群コアドのクラスへと拡張し、既存のC*-代数的枠組みを統合的かつ強化する。