[論文レビュー] Rogers functions and fluctuation theory

Mateusz Kwaśnicki|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2013

Holomorphic and Operator Theory参考文献 37被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、右半平面における正の実部を有する f(ξ)/ξ の正則関数であるロジャース関数を導入し、そのウィーナー＝ホフ因子分解を確立する。ほぼバランスの取れたロジャース関数に対して、f(ξ)+τ のウィーナー＝ホフ因子が ξ および τ の両方において完全ベーシン関数であることを証明し、明示的な積分表現を提供する。これにより、完全単調な跳躍を持つリーヴィ過程の上昇値および下限値関数に対する半明示的なラプラス変換が可能になる。

ABSTRACT

Extending earlier work by Rogers, Wiener-Hopf factorisation is studied for a class of functions closely related to Nevanlinna-Pick functions and complete Bernstein functions. The name 'Rogers functions' is proposed for this class. Under mild additional condition, for a Rogers function f, the Wiener--Hopf factors of f(z)+q, as well as their ratios, are proved to be complete Bernstein functions in both z and q. This result has a natural interpretation in fluctuation theory of Lévy processes: for a Lévy process X_t with completely monotone jumps, under mild additional condition, the Laplace exponents kappa(q;z), kappa*(q;z) of ladder processes are complete Bernstein functions of both z and q. Integral representation for these Wiener--Hopf factors is studied, and a semi-explicit expression for the space-only Laplace transform of the supremum and the infimum of X_t follows.

研究の動機と目的

• ネヴァンリンナ＝ピック関数および完全ベーシン関数を一般化する新しい関数類、すなわちロジャース関数を定義し、その性質を研究すること。
• やや緩い条件下で、ロジャース関数に対する新しいウィーナー＝ホフ因子分解理論を確立すること。
• 理論を、特に完全単調な跳躍密度を有するリーヴィ過程のフラクチュエーション理論に応用すること。
• ウィーナー＝ホフ因子および空間のみの上昇値・下限値関数に対するラプラス変換の積分表現を導出すること。
• ラッダープロセスのラプラス指数が、空間パラメータ ξ および時間パラメータ τ の両方において完全ベーシン関数であることを示すこと。

提案手法

• ロジャース関数を、C_+ 上の正則関数 f として定義し、右半平面のすべての ξ に対して Re(f(ξ)/ξ) ≥ 0 を満たすものとする。
• ロジャース関数と、関数 -f(-iξ)/ξ がネヴァンリンナ＝ピック関数であるというクラスの同値性を確立する。
• ウィーナー＝ホフ因子分解の枠組みを用いて、f(ξ)+τ を ξ および τ に関する正則関数の積に分解する。
• ほぼバランスの取れた条件下で、ウィーナー＝ホフ因子およびその比が、両変数において完全ベーシン関数であることを証明する。
• 正則拡張の境界値を用いて、上昇値および下限値関数に対するラプラス変換の積分表現を導出する。
• フーリエ級数および複素解析的手法を用いて、上昇値関数の密度のラプラス変換の明示的表現を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 f がロジャース関数であるとき、f(ξ)+τ のウィーナー＝ホフ因子分解の構造はいかなるものか？
• RQ2 ウィーナー＝ホフ因子およびその比が、ξ および τ の両方において完全ベーシン関数であるための条件は何か？
• RQ3 空間のみの上昇値および下限値関数に対するラプラス変換は、ロジャース関数を用いてどのように表現できるか？
• RQ4 ロジャース関数と完全単調な跳躍密度を有するリーヴィ過程との関係は何か？
• RQ5 ラッダープロセスのラプラス指数が、空間および時間の両パラメータにおいて完全ベーシン関数であることを示せるか？

主な発見

• ほぼバランスの取れたロジャース関数 f に対して、ウィーナー＝ホフ因子 κ↑(τ;ξ) および κ↓(τ;ξ) は、ξ および τ の両方において完全ベーシン関数である。
• 比 κ↑(τ₁;ξ)/κ↑(τ₂;ξ)、κ↓(τ₁;ξ)/κ↓(τ₂;ξ)、κ↑(τ;ξ₁)/κ↑(τ;ξ₂)、および κ↓(τ;ξ₁)/κ↓(τ;ξ₂) は、それぞれ ξ および τ において完全ベーシン関数である。
• 正則拡張の境界値を用いて、上昇値関数に対する空間のみのラプラス変換の明示的半明示的表現が導出された。
• 特性指数 f(ξ) = ξ^α、α ∈ (0,2) の安定型の場合、上昇値密度のラプラス変換は、sin(απϱ)u^α / (1 + 2u^α cos(απϱ) + u^{2α}) を含む積分と対数補正項で与えられる。
• 積の絶対値 |f↑(−ir e^{iθ}) f↓(ru)| の対数は、f(re^{iθ}) の偏角および絶対値を含む実積分として表現され、α および ϱ に依存する補正項を含む。
• 上昇値密度のラプラス変換の最終的表現は、v および u における二重積分で与えられ、有理関数および対数関数の項を含み、r > 0 および x > 0 に対して有効である。