[論文レビュー] Rs-sectorial operators and generalized Triebel-Lizorkin spaces

Peer Christian Kunstmann, Alexander Ullmann|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2012

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 41被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、バナッハ函数空間における $\rho_s$-セクター作用素を用いた、正則関数計算を用いた一般化されたトライベル・リゾルキン空間の導入を行う。さまざまなノルムの等価性を確立し、実および複素補間空間を特徴づけ、このような作用素が関連する一般化されたトライベル・リゾルキン空間において有界な $H^\infty$-計算を有することを証明し、古典的結果を $s=2$ の場合を越えて一般化する。

ABSTRACT

We introduce a notion of generalized Triebel-Lizorkin spaces associated with sectorial operators in Banach function spaces. Our approach is based on holomorphic functional calculus techniques. Using the concept of $\mathcal{R}_s$-sectorial operators, which in turn is based on the notion of $\mathcal{R}_s$-bounded sets of operators introduced by Lutz Weis, we obtain a neat theory including equivalence of various norms and a precise description of real and complex interpolation spaces. Another main result of this article is that an $\mathcal{R}_s$-sectorial operator always has a bounded $H^\infty$-functional calculus in its associated generalized Triebel-Lizorkin spaces.

研究の動機と目的

• バナッハ函数空間におけるセクター作用素に関連する一般化されたトライベル・リゾルキン空間の理論を、正則関数計算を用いて構築すること。
• 古典的な $s=2$ の場合を越えて、一般の $s \in [1,\infty]$ に対して $H^\infty$-関数計算理論を拡張し、離散的および連続的ノルム表現を含むこと。
• $s$-乗数関数ノルムの等価性を確立し、その結果得られる空間を補間スケールとして特徴づけること。
• $\mathcal{R}_s$-セクター作用素が関連する一般化されたトライベル・リゾルキン空間において有界な $H^\infty$-計算を有することを証明すること。
• 非ヒルバート的かつ非 $L^p$ の設定へ、$\mathcal{R}_s$-有界性を用いて、古典的補間および関数計算理論を一般化すること。

提案手法

• 正則関数 $\varphi$ を用いたノルム表現 $\|x\|_X + \left( \int_0^\infty \|t^{-\theta} \varphi(tA)x\|_X^s \frac{dt}{t} \right)^{1/s}$ を用いて、一般化されたトライベル・リゾルキン空間 $X^\theta_{s,A}$ および $\dot{X}^\theta_{s,A}$ を定義すること。
• ルーツ・ヴァイスが導入した $\mathcal{R}_s$-有界性の概念を用いて $\mathcal{R}_s$-セクター作用素を定義し、$H^\infty$-計算の有界性を保証すること。
• セクター作用素に対する正則関数計算を用いてノルム表現を定義・分析し、特に積分表現における関数 $\varphi$ の役割に注目すること。
• 連続的および離散的 $s$-乗数関数ノルムの等価性を、$\varphi$ に関する適切な条件のもとで確立すること。
• $\dot{X}^\theta_{s,A}$ における作用素 $A$ の部分作用素 $\dot{A}_{\theta,s}$ が、角度 $\leq \omega_{\mathcal{R}_s}(A)$ の有界な $H^\infty$-計算を有することを証明すること。
• $\mathcal{R}_s$-有界性を $\mathcal{R}_s(E)$-有界性に拡張し、ベクトル値およびバナッハ函数空間値の設定に適応することで、標準的積空間を特定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のセクター作用素に対して、バナッハ函数空間における正則関数計算を用いて、一般化されたトライベル・リゾルキン空間をどのように定義できるか。
• RQ2 正則関数 $\varphi$ にどのような条件を課すと、一般化されたトライベル・リゾルキンノルムにおける連続的および離散的 $s$-乗数関数ノルムが等価になるか。
• RQ3 $\mathcal{R}_s$-セクター作用素がその関連する一般化されたトライベル・リゾルキン空間において有界な $H^\infty$-計算を有するための条件は何か。
• RQ4 一般化されたトライベル・リゾルキン空間は、作用素の定義域の実補間および複素補間スケールとどのように関係しているか。
• RQ5 有界な $H^\infty$-計算の性質を保ったまま、理論をベクトル値またはバナッハ函数空間値の設定へ拡張できるか。

主な発見

• バナッハ函数空間における $\mathcal{R}_s$-セクター作用素に対して、正則関数計算を用いて一般化されたトライベル・リゾルキン空間 $X^\theta_{s,A}$ および $\dot{X}^\theta_{s,A}$ が適切に定義される。
• 正則関数 $\varphi$ に適切な条件を課すことにより、連続的および離散的 $s$-乗数関数ノルムの等価性が確立され、古典的リトルウッド＝パイルの理論が一般の $s \in [1,\infty]$ へ拡張される。
• $\dot{X}^\theta_{s,A}$ における作用素 $A$ の部分作用素 $\dot{A}_{\theta,s}$ は、角度 $\leq \omega_{\mathcal{R}_s}(A)$ の有界な $H^\infty$-計算を有する。これは、ヒルバート空間でない設定へのドーレの定理の一般化である。
• $\theta \geq 0$ に対して、$A^{-1} \in L(X)$ または $A$ が $X$ で有界な $H^\infty$-計算を有するならば、$X^\theta_{s,A}$ における部分作用素 $A_{\theta,s}$ も同様の角度の有界な $H^\infty$-計算を有する。
• ベクトル値およびバナッハ函数空間値の設定へ、$\mathcal{R}_s(E)$-有界性を用いて理論を拡張可能であるが、一般には $\mathcal{R}_2(E)$-有界性と $\mathcal{R}$-有界性の等価性は成り立たない。ただし $E$ がヒルバート空間である場合には成り立つ。
• 適切なポテンシャル条件のもとで、シュレーディンガー作用素 $H = -\Delta + V$ に対して、一般化されたトライベル・リゾルキン空間はリトルウッド＝パイル分解によって定義された空間と一致する。特に $V^-$ がカト型に属するときが該当する。