[論文レビュー] Ruelle transfer operators for contact Anosov flows and decay of correlations

Luchezar Stoyanov|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、コンpactリーマン多様体上の$C^5$接触Anosovフローにおいて、任意のギブス測度に対してホルダー連続な観測量の相関関数が指数関数的に減衰することを確立する。ただし、その測度が指数的に小さな尾をもつペジン集合を備えていることが前提である。この結果は、ルエーブ移動作用素の強力なスペクトル推定を用いて得られ、マークフ・パーティションと不安定多様体の幾何学を介して、ドロゴピアトの関数解析的アプローチを連続的接触Anosov設定へと拡張することで達成される。

ABSTRACT

We prove exponential decay of correlations for Hölder continuous observables with respect to any Gibbs measure for contact Anosov flows admitting Pesin sets with exponentially small tails. This is achieved by establishing strong spectral estimates for certain Ruelle transfer operators for such flows.

研究の動機と目的

• ホルダー連続な観測量に対する$C^5$接触Anosovフローにおける相関関数の指数的減衰を確立すること。
• ドロゴピアトのルエーブ移動作用素のスペクトル法を連続的接触Anosov設定へと拡張すること。
• 指数的減衰が、指数的に小さな尾をもつペジン集合を備える任意のギブス測度に対して成立することを示すこと。
• 従来のリーマン体積測度を超えた一般のギブス測度に対する相関関数の減衰を一般化すること。

提案手法

• マークフ・パーティションとポincare再帰写像を用いて不安定多様体上に定義されたルエーブ移動作用素の使用。
• 複素パラメータ平面におけるホルダー連続関数に作用するルエーブ作用素のスペクトル推定の応用。
• 不安定葉内にシリンダーを構成し、力学的歪みと安定ホロノミー写像を用いてその直径を推定すること。
• 不等式9.5の適用により、不安定多様体の直径の成長を制御し、一様な境界を保証すること。
• ドロゴピアトとリヴァーニのインスピレーションを受ける関数解析的アプローチを、接触Anosovフローに適応すること。
• 指数的に小さな尾をもつペジン集合の存在を活用し、相関推定における測度的尾の制御を行うこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数的減衰は、リーマン体積測度に限らず、$C^5$接触Anosovフローにおけるすべてのギブス測度に対して成立するか？
• RQ2 関数解析的アプローチを用いて、連続的接触Anosovの場合のルエーブ移動作用素のスペクトル推定を確立できるか？
• RQ3 ギブス測度にどのような条件を課すと、対応するペジン集合が指数的に小さな尾をもつようになるか？
• RQ4 不安定多様体の幾何的性質とホロノミー写像が、ルエーブ作用素のスペクトル的性質にどのように影響するか？

主な発見

• 任意のギブス測度に対して、$C^5$接触Anosovフローにおけるすべてのホルダー連続な観測量に対して、相関関数の指数的減衰が確立された。
• ルエーブ移動作用素$L_{f - (P_f + a + ib) au}$のスペクトル半径は、$|a|$が小さく$|b|$が大きいとき、一様に$\rho < 1$で有界であり、これにより指数的減衰が保証される。
• この結果は、ギブス測度が指数的に小さな尾をもつペジン集合を備えているという条件下で成り立つ。この性質は、大偏差原理を用いて特定のクラスのギブス測度に対して検証可能である。
• 証明は、幾何的歪み推定とシリンダーの拡張・収縮の境界を用いて、不安定多様体の直径成長を一様に制御することに依存している。
• 本手法は、連続時間設定と非一様双曲性の課題を克服しつつ、ドロゴピアトのアプローチを接触Anosovフローへと拡張した。