[論文レビュー] Sandwich semigroups in diagram categories

Ivana Đurđev, Igor Dolinka+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 51被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ブラウアー、トゥーリー・リーブ、モーツキンのカテゴリのような図式カテゴリにおいて、固定された準同型写像 σ を用いて定義されるサンドイッチ半群を調査する。二項演算 α ⋆σ β = ασβ を用い、グリーンの関係、正則性、イデアル構造、生成集合について包括的な分析を行う。主な結果として、ブラウアーカテゴリにおけるサンドイッチ半群の同型類の完全分類が得られ、イデアルおよび正則部分半群のランクとイデアル的ランクの明示的公式が提示される。

ABSTRACT

This paper concerns a number of diagram categories, namely the partition, planar partition, Brauer, partial Brauer, Motzkin and Temperley-Lieb categories. If $\mathcal K$ denotes any of these categories, and if $σ\in\mathcal K_{nm}$ is a fixed morphism, then an associative operation $\star_σ$ may be defined on $\mathcal K_{mn}$ by $α\star_σβ=ασβ$. The resulting semigroup $\mathcal K_{mn}^σ=(\mathcal K_{mn},\star_σ)$ is called a sandwich semigroup. We conduct a thorough investigation of these sandwich semigroups, with an emphasis on structural and combinatorial properties such as Green's relations and preorders, regularity, stability, mid-identities, ideal structure, (products of) idempotents, and minimal generation. It turns out that the Brauer category has many remarkable properties not shared by any of the other diagram categories we study. Because of these unique properties, we may completely classify isomorphism classes of sandwich semigroups in the Brauer category, calculate the rank (smallest size of a generating set) of an arbitrary sandwich semigroup, enumerate Green's classes and idempotents, and calculate ranks (and idempotent ranks, where appropriate) of the regular subsemigroup and its ideals, as well as the idempotent-generated subsemigroup. Several illustrative examples are considered throughout, partly to demonstrate the sometimes-subtle differences between the various diagram categories.

研究の動機と目的

• 分割、ブラウアー、トゥーリー・リーブカテゴリなどの図式カテゴリにおけるサンドイッチ半群の構造的および組合せ的性質を体系的に分析すること。
• ブラウアーカテゴリが他の図式カテゴリとは異なり、サンドイッチ半群の文脈で特徴的な独自の性質を同定し、特徴づけること。
• ブラウアーカテゴリにおける正則部分半群およびそのイデアルのランクとイデアル的ランクを計算すること。
• ブラウアーカテゴリにおけるサンドイッチ半群の同型類を分類すること。
• 特にイデアル的生成とイデアル構造を通じて、サンドイッチ半群と古典的図式モノイドとの関係を探索すること。

提案手法

• 固定された準同型写像 σ ∈Knm を用いて、hom-集合 Kmn 上に二項演算 α ⋆σ β = ασβ を定義し、サンドイッチ半群 Kσ_mn を構成する。
• グリーンの関係および準順序を用いて Kσ_mn の構造を分析し、特に正則性、J-類、R-類に注目する。
• 安定性およびミッド・イデンティティ条件を用いて、イデアルおよび部分半群のランクの上限を導出する。
• 完全0-シンプル半群および長方形バンドにおける生成集合の既知の結果を活用し、最小生成集合を計算する。
• 二重階乗および二項係数などの組合せ的道具を用いて、イデアルの数え上げとランクの計算を行う。
• MI-支配性およびリース型定理を用いて、Kσ_mn におけるイデアルの構造が、元の図式モノイドにおけるそれらと関係づけられることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウアーカテゴリにおけるサンドイッチ半群の同型類は何か？
• RQ2 ブラウアーカテゴリにおける任意のサンドイッチ半群のランクは何か？
• RQ3 ブラウアーカテゴリにおける正則部分半群およびそのイデアルはどのように構造化されており、それぞれのランクは何か？
• RQ4 ブラウアーカテゴリにおける正則部分半群およびそのイデアルのイデアル的ランクは何か？
• RQ5 ブラウアーカテゴリにおけるサンドイッチ半群のイデアル構造は、他の図式カテゴリにおけるそれらとどのように比較できるか？

主な発見

• ブラウアーカテゴリにおけるサンドイッチ半群の同型類は完全に分類されており、同型は固定された準同型写像 σ のランクによって決定される。
• ブラウアーカテゴリにおけるサンドイッチ半群 Bσ_mn のランクは、公式 (r choose q)(r−q−1)!!(m+q−1)!! / (r+q−1)!! で与えられる。ここで q は σ のランクである。
• 正則部分半群 Reg(Bσ_mn) 及びそのイデアルのイデアル的ランクは、ランクに等しく、正則部分半群がイデアル的生成であり、最小生成集合がイデアル的元からなることを示している。
• 正則部分半群のイデアル Iq はそのトップ Dσ-類 Dσ_q によって生成され、そのランクおよびイデアル的ランクは両方とも (r choose q)(r−q−1)!!(m+q−1)!! / (r+q−1)!! に等しい。
• Bσ_mn の正則部分半群の構造は、長方形バンド上のリース行列半群と同型であることが示され、グリーンの類およびイデアルの正確な数え上げが可能になる。
• 本論文は、ブラウアーカテゴリが他の図式カテゴリとは異なり、MI-支配性および安定イデアルといった独自の構造的性質を有しており、これが正確なランク計算を可能にしていることを確立している。