[논문 리뷰] Scalar curvature and properness on Sasaki manifolds

Weiyong He|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 11.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 41인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고정된 리브 벡터장과 횡단 복소構조를 갖는 컴팩트한 사사키 다양체 위에서 횡단 일정 스칼라 곡률 사사키(cscs) 메트릭의 존재성을 확립한다. 이를 위해 이러한 메트릭이 존재함과 동시에 리브 벡터장과 횡단 복소구조를 보존하는 자동형사상군의 항등성분에 대한 ${\mathcal{K}}$-에너지의 감소된 적절성(reduced properness)이 필요하고 충분함을 증명한다. 증명은 케이러 기하학에서 채용된 채-청 전략을 사사키 기하학에 적응시키며, 스칼라 곡률 유형의 방정식에 대한 사전 추정과 사사키 다양체 위의 기하학적 복소포텐셜 이론을 결합한다. 특히 비규칙 케이스에서 발생하는 내재적 과제를 다루기 위해 세심한 수정이 이루어졌음을 확인할 수 있다.

ABSTRACT

We study (transverse) scalar curvature type equation on compact Sasaki manifolds, in view of recent breakthrough of Chen-Cheng \cite{CC1, CC2, CC3} on existence of Kähler metrics with constant scalar curvature (csck) on compact Kähler manifolds. Following their strategy, we prove that given a Sasaki structure (with Reeb vector field and complex structure on its cone fixed ), there exists a Sasaki structure with transverse constant scalar curvature (cscs) if and only if the $\mathcal{K}$-energy is reduced proper modulo the identity component of the automorphism group which preserves both the Reeb vector field and transverse complex structure. Technically, the proof mainly consists of two parts. The first part is a priori estimates for scalar curvature type equations which are parallel to Chen-Cheng's results in \cite{CC2, CC3} in Sasaki setting. The second part is geometric pluripotential theory on a compact Sasaki manifold, building up on profound results in geometric pluripotential theory on Kähler manifolds. There are notable, and indeed subtle differences in Sasaki setting (compared with Kähler setting) for both parts (PDE and pluripotential theory). The PDE part is an adaption of deep work of Chen-Cheng \cite{CC1, CC2, CC3} to Sasaki setting with necessary modifications. While the geometric pluripotential theory on a compact Sasaki manifold has new difficulties, compared with geometric pluripotential theory in Kähler setting which is very intricate. We shall present the details of geometric pluripotential on Sasaki manifolds in a separate paper \cite{HL} (joint work with Jun Li).

연구 동기 및 목표

• 컴팩트한 사사키 다양체 위에서 횡단 일정 스칼라 곡률 사사키(cscs) 메트릭의 존재에 대한 필요충분조건을 확립하는 것.
• 일정 스칼라 곡률 케이러 메트릭에 대한 채-청 전략을 사사키 설정으로 확장하고, 특히 ${\mathcal{K}}$-에너지의 적절성의 역할을 분석하는 것.
• 스칼라 곡률 유형 방정식에 대한 사전 추정 기법을 사사키 맥락에 개발하고, 케이러 기하학의 결과를 모방하는 것.
• 컴팩트한 사사키 다양체 위에서 기초적인 기하학적 복소포텐셜 이론을 구축하며, 케이러 케이스에 존재하지 않는 새로운 과제를 다루는 것.
• 리브 장과 횡단 복소구조를 보존하는 자동형사상군에 대한 ${\mathcal{K}}$-에너지의 '감소된 적절성'의 정확한 개념을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 채의 연속 경로 방법을 사사키 설정으로 적응시켜, 방정식 $ t(R^{T}_{\phi}-\underline{R}) = (1-t)(\text{tr}_{\omega_{\phi}}\omega^{T}-n) $ 를 사용하여 횡단 케이러 메트릭과 cscs 해를 연결한다.
• 스칼라 곡률 유형 방정식에 대해 사사키 다양체 위에서 $C^0$, $C^1$, $C^2$ 사전 추정을 확립하며, 케이러 케이스에서 채-청이 얻은 결과와 유사하게 구성한다.
• 공간 $\mathcal{H}$ 위의 횡단 케이러 퍼텐셜에 대해 기하학적 복소포텐셜 이론을 적용하며, $d_1$-필슬러 거리(d_1-Finsler distance)를 사용해 ${\mathcal{K}}$-에너지의 적절성을 테스트한다.
• ${\mathcal{E}_1}$ 내의 유한 에너지 지오데식선을 따라 ${\mathcal{K}}$-에너지의 볼록성을 이용해, 적절성이 실패할 경우 모순을 이끌어내는 방법을 사용한다.
• $\mathcal{E}_1$ 위의 $d_1$-위상의 컴팩턴스와 ${\mathcal{K}}$-에너지의 하부 연속성을 활용하여 극한 메트릭을 추출한다.
• 특히 비규칙 리브 폴로노미아 케이스에 주의를 기울이며, 다르바스의 노트와 채-청의 작업에서 유래한 케이러 기하학의 기법들을 사사키 설정으로 수정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 리브 벡터장과 횡단 복소구조를 갖는 컴팩트한 사사키 다양체가 횡단 일정 스칼라 곡률 메트릭을 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 특히 리브 장 $\xi$와 $J$를 보존하는 자동형사상에 대해, 사사키 설정에서 ${\mathcal{K}}$-에너지의 적절성이 어떻게 서술되고 검증될 수 있는가?
• RQ3 사사키 다양체 위에서 횡단 스칼라 곡률 유형 방정식의 해가 존재하기 위한 필요충분조건은 무엇인가?
• RQ4 특히 사전 추정과 지오데식 볼록성과 같은 분석 도구들이 케이러 기하학에서 사사키 기하학으로 어떻게 일반화되는가?
• RQ5 케이러 기하학에서 사사키 다양체로 기하학적 복소포텐셜 이론을 확장할 때, 특히 비규칙 케이스에서 어떤 새로운 기술적 과제가 발생하는가?

주요 결과

• 횡단 일정 스칼라 곡률 사사키 메트릭의 존재성은 $\text{Aut}_0(\xi,J)$에 대한 ${\mathcal{K}}$-에너지의 감소된 적절성과 동치이다.
• ${\mathcal{K}}$-에너지가 $\mathcal{H}$ 위에서 $d_{1,G}$-적절하다면, cscs 메트릭이 존재할 때, 상수 $C,D>0$ 가 존재하여 $\mathcal{K}(\phi) \geq C d_{1,G}(0,\phi) - D$ 를 만족한다.
• 이 증명은 ${\mathcal{K}}$-에너지가 유한 에너지 지오데식선을 따라 볼록임과 $\mathcal{E}_1$ 내의 $d_1$-위상의 컴팩턴스에 기반한다.
• 채의 연속 경로 방법은 필수적이며 사사키 설정으로 성공적으로 적응되었으며, 횡단 케이러 메트릭에서 cscs 해로의 히포모르피즘을 통해 해를 구성하는 데 기여한다.
• $C^0$, $C^1$, $C^2$ 사전 추정은 사사키 맥락에서 확립되었으며, 채-청의 결과를 이 설정으로 확장한 것이다.
• 이 논문은 비규칙 리브 폴로노미아가 복소포텐셜 이론에서 상당한 새로운 과제를 야기함을 밝히며, 이는 후속 연구 [40]에서 준 리와 함께 다뤄지고 있다.