[論文レビュー] Scalar curvature and uniruledness on projective manifolds

Gordon Heier, Bun Wong|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、正の全スカラー曲率を持つケーラー計量を備えた射影的多様体が、すべての点が有理曲線上にあるという意味で、uniruled であることを確立する。さらに、全スカラー曲率がゼロの場合、多様体はuniruledであるか、またはトーションな正則標準束を持つことが示され、スカラー曲率の制約を通じて微分幾何学的知見を双有理幾何に拡張する。

ABSTRACT

It is a basic tenet in complex geometry that {\it negative} curvature corresponds, in a suitable sense, to the absence of rational curves on, say, a complex projective manifold, while {\it positive} curvature corresponds to the abundance of rational curves. In this spirit, we prove in this note that a projective manifold $M$ with a Kähler metric with positive total scalar curvature is uniruled, which is equivalent to every point of $M$ being contained in a rational curve. We also prove that if $M$ possesses a Kähler metric of total scalar curvature equal to zero, then either $M$ is uniruled or its canonical line bundle is torsion. The proof of the latter theorem is partially based on the observation that if $M$ is not uniruled, then the total scalar curvatures of all Kähler metrics on $M$ must have the same sign, which is either zero or negative.

研究の動機と目的

• スカラー曲率に基づく微分幾何的基準を、複素射影的多様体におけるuniruled性のためのものとして確立すること。
• ヤウの結果（正のリッチ曲率がコルダ・次元−∞を意味すること）を、より弱い条件の正の全スカラー曲率にまで拡張すること。
• 全スカラー曲率がゼロである射影的多様体を特徴づけ、それがuniruledであるか、またはカラビ＝ヤウ多様体であることを示すこと。
• 曲率不変量を介して代数幾何学（uniruled性、正則標準束の性質）とケーラー幾何学（スカラー曲率の符号）の間のギャップを埋めること。
• モーリーの「曲げて折る」法とBDPP双対定理にインスピレーションを受けて、スカラー曲率の正の性質が有理曲線の存在に与える影響を探索すること。

提案手法

• 全スカラー曲率を、リッチ形式とケーラー形式の積分を通じて第一チャーン類に関連づけるグローバル不変量として用いる。
• Poincaré–Lelongの公式を応用し、ラインバンドルの切断の非消滅を曲率積分に関連付ける。
• BDPP04における擬効果的・強可動コーンの双対性を活用して、正則標準束の振る舞いを分析する。
• ベルガーの点ごとの不等式を用いて、正の全ホロモルフィック断面曲率が正のスカラー曲率を意味することを示す。
• 背理法による証明：ゼロの全スカラー曲率のもとで非自明な正則標準除集合が存在すると仮定し、曲率積分の消滅により矛盾を導く。
• 全スカラー曲率に比例するコhomological不変量 $ T(\omega) = \int_M c_1(M) \wedge \omega^{n-1} $ を定義し、すべてのケーラー計量にわたる解析を統一する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラー計量における正の全スカラー曲率は、射影的多様体におけるuniruled性を意味するか？
• RQ2 ケーラー計量におけるゼロの全スカラー曲率は、uniruled性またはトーションな正則標準束を意味するか？
• RQ3 非uniruled多様体において、すべてのケーラー計量における全スカラー曲率の符号は同一か？
• RQ4 リッチ曲率や双断面曲率の正の性質を仮定せずに、全スカラー曲率の正の性質のみで有理曲線の存在を保証できるか？
• RQ5 与えられた多様体のすべてのケーラー計量にわたって、全スカラー曲率の符号の振る舞いを捉えるコhomological不変量は存在するか？

主な発見

• 全スカラー曲率が正のケーラー計量を備えた射影的多様体はuniruledであり、ヤウのリッチ正性に関する結果をスカラー曲率正性へと拡張する。
• あるケーラー計量に対して全スカラー曲率がゼロである射影的多様体は、uniruledであるか、またはその正則標準ラインバンドルがトーションである。
• 非uniruled多様体において、すべてのケーラー計量の全スカラー曲率は同じ符号を持つ—ゼロまたは負であり、この場合ゼロの全スカラー曲率はグローバル不変量である。
• 全スカラー曲率に比例するコhomological不変量 $ T(\omega) $ は、多様体がカラビ＝ヤウ多様体であるか、$ T $ が消える場合にuniruledであるとき、かつそのときに限り恒等的にゼロである。
• 正の全ホロモルフィック断面曲率は正のスカラー曲率を意味するため、このような多様体はuniruledでもあり、新たな微分幾何的基準を提供する。
• 正則標準バンドルがトーションであることと、$ T(\omega) = 0 $ かつ多様体がuniruledでないことは同値であり、曲率不変量と双有理幾何を結ぶ。