[論文レビュー] Scalar curvature on compact complex manifolds

Xiaokui Yang|arXiv (Cornell University)|May 7, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、コンpact複素多様体上のGauduchon計量の全チャーンスカラー曲率について完全な特徴付けを確立し、コンパクト複素多様体が正（ respectively 負）スカラー曲率を持つヘルミート計量をもつことと、その正則バンドル（ respectively 反正則バンドル）が擬効的でないことが同値であることを証明している。主な結果はGauduchonの共形法と最近のGauduchon予想の解決に依拠しており、Kählerの場合に知られている結果を非Kähler設定へと拡張している。

ABSTRACT

In this paper, we prove that, a compact complex manifold $X$ admits a smooth Hermitian metric with positive (resp. negative) scalar curvature if and only if $K_X$ (resp. $K_X^{-1}$) is not pseudo-effective. On the contrary, we also show that on an arbitrary compact complex manifold $X$ with complex dimension $\geq 2$, there exist smooth Hermitian metrics with positive total scalar curvature and one of the key ingredients in the proof relies on a recent solution to the Gauduchon conjecture by G. Székelyhidi, V. Tosatti and B. Weinkove.

研究の動機と目的

• コンパクト複素多様体上に滑らかなヘルミート計量が正または負のスカラー曲率を持つことの存在を特定すること。
• YauおよびHeier-WongのKählerの場合の全スカラー曲率に関する結果を、一般のコンパクト複素多様体へと拡張すること。
• Gauduchon計量の空間上での全スカラー曲率関数の像を特徴付けること。
• 正則バンドルおよび反正則バンドルの擬効的性とスカラー曲率の符号との間の基準を確立すること。

提案手法

• 所望のスカラー曲率性質を持つ計量を構成するためにGauduchonの共形法を用いる。
• 最近のGauduchon予想の解決（Székelyhidi-Tosatti-Weinkove）を適用して、所定の体積形式を持つGauduchon計量の存在を保証する。
• Lamariの正則性基準の修正版とTosattiによる非Kähler Calabi-Yau多様体の特徴付けを用いる。
• Gauduchon計量上で部分積分とストークスの定理を用いて全スカラー曲率関数を分析する。
• 特定の点で正のスカラー曲率を強化し、正の全曲率を保証するために、共形に同値な計量の族を構成する。
• 任意のコホモロジー類へのスカラー曲率関数の一般化に、Bott-Chernコホモロジー類に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト複素多様体が全スカラー曲率が正であるヘルミート計量を持つのはいつか？
• RQ2 正則バンドルの擬効的性とスカラー曲率の符号との間の正確な関係は何か？
• RQ3 Gauduchon計量の全スカラー曲率は任意の実数値をとるのか。その像は何かによって決定されるか？
• RQ4 コンパクト複素多様体が全スカラー曲率が0であるGauduchon計量を持つのはどのような条件下か？
• RQ5 コルデイラ次元は、正または負のスカラー曲率を持つ計量の存在とどのように関係するか？

主な発見

• K_X および K_X^{-1} の両方が擬効的でない限り、Gauduchon計量の空間上での全スカラー曲率関数の像はちょうど R に一致する。
• K_X^{-1} が擬効的ではあるがユニタリ平坦でない場合、像は R>0 である。K_X が擬効的ではあるがユニタリ平坦でない場合、像は R<0 である。
• K_X がユニタリ平坦であることと、像が {0} であることは同値である。
• コンパクト複素多様体が正（ respectively 負）スカラー曲率を持つヘルミート計量をもつことと、K_X（ respectively K_X^{-1}）が擬効的でないことは同値である。
• 次元 ≥2 である任意のコンパクト複素多様体に対して、正の全スカラー曲率を持つ滑らかなヘリミート計量が存在する。
• X がKählerであるとき、正の全スカラー曲率を持つ共形Kähler計量が存在する。