[論文レビュー] Second main theorem and unicity of meromorphic mappings for hypersurfaces in projective varieties

Si Duc Quang, Do Phuong An|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2014

Meromorphic and Entire Functions参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、複素数体 ℂ 上の射影的部分多様体 V ⊂ ℙ^n(ℂ) へのメラモルフィック写像 f: ℂ^m → V に対して、切断された数え上げ関数を用いた N-部分一般位置にある超曲面と交差する場合の第二主要定理を確立する。主な貢献は、Hilbert関数 H_V(d) を用いた欠損関係であり、古典的結果を退化写像へ拡張し、重複度を数えない形での超曲面を共有する写像の同一性定理を一般化する。

ABSTRACT

Let $V$ be a projective subvariety of $\mathbb P^n(\mathbb C)$. A family of hypersurfaces $\{Q_i\}_{i=1}^q$ in $\mathbb P^n(\mathbb C)$ is said to be in $N$-subgeneral position with respect to $V$ if for any $1\le i_1

研究の動機と目的

• ネヴァンリンナ理論の第二主要定理を、単に ℙ^n(ℂ) ではなく、射影的部分多様体 V ⊂ ℙ^n(ℂ) へのメラモルフィック写像へ一般化すること。
• 線形的退化でない写像に限らない、線形的退化である可能性のある写像について、超曲面を共有する写像の同一性定理を拡張すること。
• 部分多様体 V に関して N-部分一般位置という概念を導入し、古典的な一般位置の概念を一般化すること。
• Hilbert関数 H_V(d) を用いて、切断された数え上げ関数を用いた欠損関係を確立し、従来の結果よりも顕著に低い切断レベルを達成すること。
• 重複度を数えない形で、写像が I_d(V) 上で退化している場合でも、超曲面を共有するメラモルフィック写像の同一性定理を証明すること。

提案手法

• 次元 k の射影的部分多様体 V に対して、超曲面が N-部分一般位置にあることを定義する。これは、任意の N+1 個の超曲面が V と非自明に交わらないことを要件とする。
• Hilbert関数 H_V(d) = dim I_d(V) を導入する。これは、V のイデアルを modulo した次数 d の斉次多項式空間の次元を数える。
• 写像 f が超曲面 Q_i に近接する度合いを測るために、切断レベル H_V(d)−1 を用いた切断数え上げ関数 N^{[H_V(d)−1]}_{Q_i(f)}(r) を用いる。
• 第二主要定理を確立する：非退化写像 f に対して、(q − (2N−k+1)H_V(d)/(k+1))T_f(r) ≤ ∑(1/d_i)N^{[H_V(d)−1]}_{Q_i(f)}(r) + o(T_f(r)) が成り立つ。
• 第二主要定理を用いて、背理法により同一性定理を証明する。異なる写像 f と g が超曲面を共有すると仮定し、特徴関数の推定により矛盾を導く。
• Jensenの公式と特徴関数の恒等式を用いて、結果関数 P_i = Q_i(f)Q_σ(i)(g) − Q_i(g)Q_σ(i)(f) の数え上げ関数を評価し、共有される超曲面の数が閾値を超えると矛盾が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネヴァンリンナ理論の第二主要定理を、単に ℙ^n(ℂ) ではなく、射影的部分多様体 V ⊂ ℙ^n(ℂ) へのメラモルフィック写像へ拡張することは可能か？
• RQ2 超曲面が部分多様体 V に関して N-部分一般位置にある場合、第二主要定理における数え上げ関数の最適な切断レベルは何か？
• RQ3 重複度を数えない形で、線形的退化である可能性のある写像に対しても、同一性定理を確立できるか？
• RQ4 N-部分一般位置にある超曲面が何個あれば、2つのメラモルフィック写像が V に写像されるとき、必ず同一になるか？
• RQ5 Hilbert関数 H_V(d) は、部分一般位置の文脈において、欠損関係および同一性の閾値にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 第二主要定理は、次元 k の射影的部分多様体 V を対象とし、V に関して N-部分一般位置にある超曲面を持つメラモルフィック写像 f: ℂ^m → V に対して確立された。
• 数え上げ関数の切断レベルは H_V(d)−1 であり、従来の境界 (M+1) や (n+d choose n)−1 より顕著に小さい。
• 欠損関係は (q − (2N−k+1)H_V(d)/(k+1))T_f(r) ≤ ∑(1/d_i)N^{[H_V(d)−1]}_{Q_i(f)}(r) + o(T_f(r)) で与えられ、H_V(d) は V の Hilbert 関数である。
• 同一性定理は、2つのメラモルフィック写像 f と g が、重複度を数えない形で q 個の超曲面を共有する場合、q > 2(2N−k+1)H_V(d)/(k+1) ならば f ≡ g であることを示している。
• 古典的 Cartan-Nochka 定理が一般化されている：V が次元 k の線形空間であり、各 Q_i が超平面である場合、H_V(d) = k+1 となり、この結果は古典的第二主要定理に還元される。
• 同一性の閾値 q ≤ 2(2N−k+1)H_V(d)/(k+1) は鋭い。特徴関数の推定と Jensen の公式を用いた背理法により、証明で示されている。