[論文レビュー] Seiberg-Witten invariants of 3-orbifolds and non-Kähler surfaces

Chen Weimin|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特異円からなる集合をもつ3-軌道体のSeiberg-Witten不変量と、その特異集合を除いた基底となる多様体の不変量との間の関係を定める公式を確立し、非ケーラー複素表面の不変量を軌道体的手法を用いて計算可能にする。主な結果は、BiquardおよびWilliamsの先行研究を一般化し、軌道体ラインバンドルと格子群作用の下での軌道を用いて、楕円的非ケーラー表面のSeiberg-Witten不変量に対する位相的公式を提供する。

ABSTRACT

A formula is given which computes the Seiberg-Witten invariant of a 3-orbifold from the invariant of the underlying manifold. As an application, we derive a formula for the Seiberg-Witten invariant of a non-Kähler complex surface, which was originally due to O. Biquard \cite{Biq} and S.R. Williams \cite{W} independently.

研究の動機と目的

• 特異集合が埋め込まれた円からなる3-軌道体のSeiberg-Witten不変量についての公式を導出すること。この公式は、特異集合を除いた基底多様体の不変量と関係づける。
• この公式を用いて、特にオイラー標跡が0である楕円的非ケーラー複素表面のSeiberg-Witten不変量を計算すること。
• 表面がケーラーでない場合にも一般化可能な不変量の計算を、軌道体構造とSeifertファイブレーションを用いて行うこと。
• 4次元多様体上の$Spin^c$-構造と、2次元軌道体基底上の軌道体ラインバンドルの軌道との間の対応を確立すること。
• 非ゼロのSeiberg-Witten不変量の位相的特徴づけを、球面的分割および分離可能な2次元軌道体部分多様体の観点から与えること。

提案手法

• 3-軌道体$Y$上の$Spin^c$-構造から、特異集合を除いた多様体$Y_0$上の$Spin^c$-構造への自然な全射写像$\phi: S_Y \to S_{Y_0}$を定義する。
• Baldridgeによる3-軌道体へのSeiberg-Witten理論の拡張を用い、自然な写像を介して$SW_Y(\xi)$と$SW_{Y_0}(\phi(\xi))$の関係を関係づける。
• 非ケーラー複素表面を、Seifertファイブレーションからの引き戻しによって構成された、3-軌道体$Y_2$上への主$S^1$-バンドルの全空間としてモデル化する。
• 4次元多様体$X$上の$Spin^c$-構造を、群$\Gamma_X$（$E_1$と$E_2$で生成される）の作用の下での軌道$(D)$として表現する。
• Seiberg-Witten不変量$SW_X((D))$を、$g \geq 1$のとき$|D'| \in [0, 2g-2]$を満たす$D' \in (D)$の和として計算し、$g = 0$のときすべての$D'$に対して$|D'| \geq 0$を満たすものとして計算する。重みは二項係数または$|D'|+1$である。
• $Spin^c$-構造の決定線束の第1チャーン類を、$c_1(\det \mathcal{L}) = (2d - 2g + 2)F + \sum_i (2s_i + 1 - m_i)F_i$として導出する。ここで$F$は正則点上のファイバー、$F_i$は$i$番目の特異点上のファイバーである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異集合が埋め込まれた円からなる3-軌道体のSeiberg-Witten不変量は、特異集合を除いた滑らかな3次元多様体の不変量とどのように関係するか？
• RQ2 非ケーラー複素表面上の$Spin^c$-構造の構造は何か？ また、非ゼロのSeiberg-Witten不変量を支持できるのはどの構造か？
• RQ3 非ケーラー楕円的表面のSeiberg-Witten不変量は、軌道体データとバンドル理論的構成を用いて計算可能か？
• RQ4 群$\Gamma_X$が軌道体ラインバンドルに作用する仕組みは、Seiberg-Witten不変量の計算にどのように影響するか？
• RQ5 非ゼロのSeiberg-Witten不変量をもつ3-軌道体に課される位相的制約は何か？ 特に、球面的2次元軌道体部分多様体とその分割性について。

主な発見

• 特異集合$\Sigma Y$をもつ3-軌道体$Y$のSeiberg-Witten不変量は、$\Sigma Y$を除いた基底多様体$Y_0$の不変量に等しく、自然写像$\phi: S_Y \to S_{Y_0}$を介して関係づけられる。すなわち、すべての$\xi \in S_Y$に対して$SW_Y(\xi) = SW_{Y_0}(\phi(\xi))$が成り立つ。
• $E \times C$上の対数的変換によって得られる非ケーラー複素表面$X$に対して、Seiberg-Witten不変量$SW_X((D))$は、軌道体ラインバンドルの軌道の和として与えられる：$g \geq 1$のとき$\sum_{D' \in (D), |D'| \in [0,2g-2]} (-1)^{|D'|} \binom{2g-2}{|D'|}$、$g = 0$のとき$\sum_{D' \in (D), |D'| \geq 0} (|D'| + 1)$。
• 4次元多様体$X$上の$Spin^c$-構造$\mathcal{L}$の決定線束の第1チャーン類は、$c_1(\det \mathcal{L}) = (2d - 2g + 2)F + \sum_i (2s_i + 1 - m_i)F_i$である。ここで$F$は正則点上のファイバー、$F_i$は$i$番目の特異点上のファイバーである。
• $b_1 > 1$かつ非ゼロのSeiberg-Witten不変量をもつ3-軌道体$Y$は、偽良い（pseudo-good）でなければならない。また、すべての球面的2次元軌道体部分多様体は分離可能で、効率的球面的分割において、非ゼロの$b_1$をもつ非可約成分がちょうど1つである。
• 公式$SW_X((D))$は、$b_2^+ = 1$のときTaubesのチャネルと整合する。これは$g = 0$かつ$X$がケーラーである場合に限り成立し、ケーラーの場合との整合性を確認する。
• $E_1$と$E_2$で生成される群$\Gamma_X$は、楕円ファイバーのホモロジーにおける格子基底の変更を経ても不変であり、$SL(2,\mathbb{Z})$変換の下で$E_1', E_2'$は$E_1, E_2$の整数線形結合として表される。