[論文レビュー] Self-adjoint Operators as Functions II: Quantum Probability

Andreas Doering, Barry Dewitt|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 34被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、フォン・ノイマン代数の射影格子上で自己共役作用素を一般化された分位数関数として解釈することにより、トポス的枠組みを用いて量子確率の新しい定式化を確立する。ここで、スペクトルプレシェーフは一般化された標本空間として機能する。量子確率は、完全な交わり半順序集合における累積分布関数と分位数関数の間のガロア接続を通じて、古典的確率と類似した構造を持つことが示され、プレシェーフに基づく一般化された集合によってコヘン＝スプライッカーの障害を克服する。

ABSTRACT

In "Self-adjoint Operators as Functions I: Lattices, Galois Connections, and the Spectral Order" [arXiv:1208.4724], it was shown that self-adjoint operators affiliated with a von Neumann algebra N can equivalently be described as certain real-valued functions on the projection lattice P(N) of the algebra, which we call q-observable functions. Here, we show that q-observable functions can be interpreted as generalised quantile functions for quantum observables interpreted as random variables. More generally, when L is a complete meet-semilattice, we show that L-valued cumulative distribution functions and the corresponding L-quantile functions form a Galois connection. An ordinary CDF can be written as an L-CDF composed with a state. For classical probability, one picks L=B(Ω), the complete Boolean algebra of measurable subsets modulo null sets of a measurable space Ω. For quantum probability, one uses L=P(N), the projection lattice of a nonabelian von Neumann algebra N. Moreover, using some constructions from the topos approach to quantum theory, we show that there is a joint sample space for all quantum observables, despite no-go results such as the Kochen-Specker theorem. Specifically, the spectral presheaf Σ of a von Neumann algebra N, which is not a mere set, but a presheaf (i.e., a 'varying set'), plays the role of the sample space. The relevant meet-semilattice L in this case is the complete bi-Heyting algebra of clopen subobjects of Σ. We show that using the spectral presheaf Σ and associated structures, quantum probability can be formulated in a way that is structurally very similar to classical probability.

研究の動機と目的

• 古典的確率の概念（特に累積分布関数と分位数関数）を、格子論的構造を用いて量子領域へ一般化すること。
• 古典的確率と量子確率の構造的不適合性を、フォン・ノイマン代数のスペクトルプレシェーフによる一般化された標本空間の導入によって解消すること。
• 非ブール的・非可換な設定下でも、量子観測可能量を分布関数および分位数関数が明確に定義された確率変数として扱えることを示すこと。
• ボーン則や量子確率が、状態と閉開部分対象のトポス的定式化から自然に導かれることが示されること。
• 累積分布関数と分位数関数の間のガロア接続を完全な交わり半順序集合へ拡張し、量子確率への応用を示すこと。

提案手法

• 本稿は、フォン・ノイマン代数 N の射影格子 P(N) 上の実数値関数としての q-観測可能関数を導入し、これが N に付随する自己共役作用素と一対一対応することを示す。
• 完全な交わり半順序集合 L を用いて、L-値累積分布関数と L-値分位数関数の間のガロア接続を確立し、古典的確率を非ブール的設定へ一般化する。
• フォン・ノイマン代数のスペクトルプレシェーフ Σ̲ が、古典的標本空間に代わる一般化された標本空間として用いられる。
• スペクトルプレシェーフの閉開部分対象は完全なバイハイティング代数をなし、古典的確率における閉開集合のブール代数を一般化する。
• 量子確率変数は、clopen subobject-値写像 A̲⁻¹: B(R̄) → Sub_cl Σ̲ として表現され、射影値測度の一般化である。
• 状態はスペクトルプレシェーフ上の確率測度 μρ として定義され、量子確率は、観測可能量を含むすべてのコンテキスト V における μρ の最小値として計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子観測可能量は、古典的確率変数と類似した分位数関数を用いて体系的に記述可能か？
• RQ2 累積分布関数と分位数関数は、非ブール的格子へどのように一般化可能か？
• RQ3 コヘン＝スプライッカーの定理があるにもかかわらず、すべての量子観測可能量のための共通の標本空間を構成可能か？
• RQ4 トポス的道具を用いることで、量子確率をどれほど古典的確率と構造的に同一視可能か？
• RQ5 ボーン則に由来する標準的な量子力学的確率は、一般化された分布関数形式からどのように導かれるか？

主な発見

• フォン・ノイマン代数に付随する自己共役作用素とその射影格子上の q-観測可能関数との間の一対一対応が確立された。
• スペクトルプレシェーフ Σ̲ は、すべての量子観測可能量の一般化された標本空間として機能し、集合ではなくプレシェーフを用いることでコヘン＝スプライッカーの定理を回避する。
• 任意の完全な交わり半順序集合 L に対して、L-値累積分布関数と分位数関数の間のガロア接続が証明され、量子状況では L = Sub_cl Σ̲ となる。
• 量子確率は、観測可能量を含むすべてのコンテキスト V を含む確率測度 μρ の最小値として計算され、ボーン則が回復される。
• この定式化により、古典的確率構造が量子系へ一般化され、観測可能量の逆像が閉開部分対象へ写され、トポス内部の測度により確率が割り当てられる。
• この枠組みは POVM や非可換確率への自然な拡張を可能とし、フォック空間や量子場理論への応用が期待される。