[論文レビュー] Semi-analytical mass matrix for 8-node brick element

Eli Hanukah|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2014

Composite Structure Analysis and Optimization参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、8ノードブリック有限要素の質量行列を計算するための準解析的手法を提案する。ヤコビアン行列式を特徴的な点での評価を用いて近似することで、正確な解析的積分が可能となる。この手法は、標準的な数値積分法と比較して、計算コストを低減しつつも、長方形および非長方形の六面体メッシュにおいて優れた精度を達成する。

ABSTRACT

Nowadays integration of mass matrix components in the element domain is performed using various numerical integration schemes, each one possess different level of accuracy, alters in number of integration (Gauss) points and requires different amount of computations. Herein semi-analytical approach is suggested. Metric (Jacobian determinant) is approximately modeled using its evaluations in certain points. Analytical integration is performed to derive simple explicit closed-form expressions for each term of the mass matrix. Two schemes are discussed: the first assumes constant metric (CM) in the initial domain, using evaluation at the centroid. The second allows for linear variation of the metric (LM linear metric) in the domain using 3 additional evaluation points. Both schemes are exact for rectangular and non-rectangular parallelepiped mesh. Careful symbolic manipulations and convenient choice of evaluation points allow us to avoid unnecessary operations. The accuracy of both schemes is studied numerically using randomly generated coarse mesh. Significant superiority in accuracy over equivalent schemes is reported. An important implication of this study is that it can replace currently used schemes.

研究の動機と目的

• 8ノードブリック要素の質量行列を計算するための、従来の数値積分法よりもより正確で効率的な代替手法の開発。
• 有限要素法の定式化において、積分の精度を維持または向上させつつ、計算コストを低減すること。
• ヤコビアン行列式を離散的評価を用いて近似することで、質量行列の成分に対する正確な解析的積分を可能とすること。
• 定数メトリクス（CM）および線形変化メトリクス（LM）近似の2つのスキームの性能を評価すること。
• 特に歪んだメッシュ上でも、標準的なガウス積分スキームを上回る精度を示すこと。

提案手法

• 定数メトリクス（CM）スキームでは、重心における1点の評価を用いてヤコビアン行列式を近似する。
• 線形メトリクス（LM）スキームでは、ヤコビアン行列式の線形変化をモデル化するため、追加で3点の評価を実施する。
• 近似されたヤコビアンを用いて質量行列の項を解析的に積分し、閉形式の式を得る。
• 計算オーバーヘッドを最小限に抑えるために、記号的記述と適切な点選択を活用する。
• 設計上、長方形および非長方形の平行六面体要素に対して正確な積分を保証する。
• ランダムに生成された粗いメッシュを用いた数値実験により、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準解析的アプローチは、8ノードブリック要素の質量行列に対して、標準的な数値積分法よりも高い精度を達成できるか？
• RQ2 定数メトリクス（CM）および線形メトリクス（LM）スキームの精度は、同等のガウス積分スキームと比較してどうなるか？
• RQ3 適切なヤコビアン近似を用いることで、計算コストが著しく増加することなく解析的積分を達成できるか？
• RQ4 本手法は、歪んだ非長方形六面体要素に対しても高い精度を維持できるか？
• RQ5 従来の積分法と比較して、準解析的手法の計算効率はどの程度向上するか？

主な発見

• 提案された準解析的手法は、ランダムに生成された粗いメッシュ上において、同等の数値積分スキームと比較して顕著に高い精度を達成する。
• CMおよびLMスキームの両方が、長方形および非長方形の平行六面体要素に対して正確な結果をもたらす。
• ヤコビアンの線形変化をモデル化するLMスキームは、CMスキームに比べて優れた精度を示す。
• 適切な記号的記述と最適な点選択により、不要な演算を回避する。
• 本研究では、有限要素解析における現在の数値積分手法に、準解析的アプローチが効果的に置き換え可能であることを示した。