[論文レビュー] Semigroupoid, Groupoid and Group Actions on limits for the Gromov-Hausdorff Propinquity

Frédéric Latrémolière|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、群、群ガロア、および帰納的極限の作用が、量子度量空間の近似に用いられる距離であるGromov-Hausdorffプロフィニティに関して、準リーブニッツコンパクト量子度量空間に於いて保存されることを確立している。もし、このような空間のコーシー列が、極限群に収束する適合する群作用を備えているならば、その極限空間は極限群の非自明な作用を引き継ぐ。これにより、非局所コンパクト群からも、C*-代数への群作用の新たな構成が可能になる。

ABSTRACT

The Gromov-Hausdorff propinquity provides an analytical framework motivated by mathematical physics where quasi-Leibniz compact quantum compact metric spaces may be studied by means of metric approximations. A natural question in this setting, answered in this paper, is whether group actions pass to the limit for this new geometry: if a sequence of quasi-Leibniz compact quantum compact metric spaces is Cauchy for the propinquity and each entry carries a non-trivial compact group action, and if the resulting sequence of groups converges, does the Gromov-Hausdorff limit carry a non-trivial action of the limit group? What about actions from groupoids, or inductive limits of groups? We establish a general result addressing all these matters. Our result provides a first example of a structure which passes to the limit of quantum metric spaces for the propinquity, as well as a new method to construct group actions, including from non-locally compact groups seen as inductive limits of compact groups, on unital C*-algebras. We apply our techniques to obtain some properties of closure of certain classes of quasi-Leibniz quantum compact metric spaces for the propinquity.

研究の動機と目的

• 準リーブニッツコンパクト量子度量空間への群作用が、Gromov-Hausdorffプロフィニティの下で極限にまで保存されるかを特定すること。
• この結果を群ガロアおよびコンパクト群の帰納的極限へ拡張すること。
• 近似量子度量空間への作用の極限を通じて、ユニタリC*-代数への群作用を構成する一般枠組みを提供すること。
• プロフィニティに関して、準リーブニッツ量子コンパクト度量空間のクラスの閉包性を分析すること。

提案手法

• 著者たちは、準リーブニッツコンパクト量子度量空間の空間に於いて、Gromov-Hausdorffプロフィニティを距離として用いる。
• 彼らは、この距離空間内のコーシー列の各要素に、コンパクト群の適合する作用を定義する。
• 群の列がハウスドルフ距離で収束するならば、その極限空間は極限群の作用を有することを証明する。
• 彼らは、圏論的および位相的道具を用いて、群ガロアおよびコンパクト群の帰納的極限への枠組みを拡張する。
• この構成は、プロフィニティの群作用に関する連続性および、極限における準リーブニッツ条件の安定性に依存する。
• 彼らは、この枠組みを用いて、特定のクラスの量子度量空間がプロフィニティに関して閉じていることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準リーブニッツ量子コンパクト度量空間へのコンパクト群作用の列は、Gromov-Hausdorff極限に群作用を誘導するか？
• RQ2 この結果は、単なる群ではなく群ガロアの作用へと拡張可能か？
• RQ3 近似空間に作用するコンパクト群の帰納的極限は、極限空間への作用を生じるか？
• RQ4 プロフィニティ位相における極限過程で、準リーブニッツ条件は保存されるか？
• RQ5 この枠組みを用いて、非局所コンパクト群からも、ユニタリC*-代数への新たな群作用を構成可能か？

主な発見

• 群の列が収束する限り、準リーブニッツコンパクト量子度量空間への群作用は、Gromov-Hausdorffプロフィニティにおいて保存される。
• 作用が適合的で、列がコーシー列である限り、極限空間は極限群の非自明な作用を引き継ぐ。
• この枠組みは群ガロア作用へと拡張可能であり、Gromov-Hausdorff極限空間への極限作用を可能にする。
• この方法により、コンパクト群の帰納的極限から、ユニタリC*-代数への群作用を構成可能である。
• この極限作用枠組みを用いて、特定のクラスの準リーブニッツ量子コンパクト度量空間がプロフィニティに関して閉じていることが確立された。
• 本研究は、プロフィニティ位相において極限にまで伝わる非自明な代数的構造（群作用）の最初の既知の例を提供する。